Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3823 / 2018
↖ ↑ ↗
← N 67.033163°
W 11.997070°		 ← 1 906.70 m → N 67.033163°
W 11.953125°		 →
↑
1 907.41 m
↓
↑
1 907.41 m
↓
N 67.016009°
W 11.997070°		 ← 1 908.05 m →
3 638 153 m²		 N 67.016009°
W 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46673583984375 y=0.24639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46673583984375 × 213)
    floor (0.46673583984375 × 8192)
    floor (3823.5)     		tx = 3823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24639892578125 × 213)
    floor (0.24639892578125 × 8192)
    floor (2018.5)     		ty = 2018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3823 / 2018 ti = "13/3823/2018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3823/2018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3823 ÷ 213
    3823 ÷ 8192     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2018 ÷ 213
    2018 ÷ 8192     		y = 0.246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246337890625 × 2 - 1) × π
    0.50732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59380603856763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59380603856763))-π/2
    2×atan(4.92244834865808)-π/2
    2×1.3703728627453-π/2
    2.7407457254906-1.57079632675     		φ = 1.16994940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16994940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.033163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3823 KachelY 2018 -0.20938838 1.16994940 -11.997070 67.033163
    Oben rechts KachelX + 1 3824 KachelY 2018 -0.20862139 1.16994940 -11.953125 67.033163
    Unten links KachelX 3823 KachelY + 1 2019 -0.20938838 1.16965001 -11.997070 67.016009
    Unten rechts KachelX + 1 3824 KachelY + 1 2019 -0.20862139 1.16965001 -11.953125 67.016009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16994940-1.16965001) × R
    0.000299389999999899 × 6371000     		dl = 1907.41368999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16994940-1.16965001) × R
    0.000299389999999899 × 6371000     		dr = 1907.41368999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20862139) × cos(1.16994940) × R
    0.000766990000000023 × 0.390198273788991 × 6371000     		do = 1906.70124663955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20862139) × cos(1.16965001) × R
    0.000766990000000023 × 0.390473913907928 × 6371000     		du = 1908.04816023118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16994940)-sin(1.16965001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390198273788991-0.390473913907928)×R²
    abs(-0.20862139--0.20938838)×0.000275640118936549×R²
    0.000766990000000023×0.000275640118936549×6371000²
    0.000766990000000023×0.000275640118936549×40589641000000     		ar = 3638152.64846526m²