Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3823 / 2015
↖ ↑ ↗
← N 67.084550°
W 11.997070°		 ← 1 902.67 m → N 67.084550°
W 11.953125°		 →
↑
1 903.34 m
↓
↑
1 903.34 m
↓
N 67.067433°
W 11.997070°		 ← 1 904.01 m →
3 622 691 m²		 N 67.067433°
W 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46673583984375 y=0.24603271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46673583984375 × 213)
    floor (0.46673583984375 × 8192)
    floor (3823.5)     		tx = 3823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24603271484375 × 213)
    floor (0.24603271484375 × 8192)
    floor (2015.5)     		ty = 2015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3823 / 2015 ti = "13/3823/2015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3823/2015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3823 ÷ 213
    3823 ÷ 8192     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2015 ÷ 213
    2015 ÷ 8192     		y = 0.2459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2459716796875 × 2 - 1) × π
    0.508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59610700974939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59610700974939))-π/2
    2×atan(4.93378780132593)-π/2
    2×1.37082130498102-π/2
    2.74164260996205-1.57079632675     		φ = 1.17084628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17084628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.084550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3823 KachelY 2015 -0.20938838 1.17084628 -11.997070 67.084550
    Oben rechts KachelX + 1 3824 KachelY 2015 -0.20862139 1.17084628 -11.953125 67.084550
    Unten links KachelX 3823 KachelY + 1 2016 -0.20938838 1.17054753 -11.997070 67.067433
    Unten rechts KachelX + 1 3824 KachelY + 1 2016 -0.20862139 1.17054753 -11.953125 67.067433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17084628-1.17054753) × R
    0.000298750000000014 × 6371000     		dl = 1903.33625000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17084628-1.17054753) × R
    0.000298750000000014 × 6371000     		dr = 1903.33625000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20862139) × cos(1.17084628) × R
    0.000766990000000023 × 0.389372331874061 × 6371000     		do = 1902.66528701431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20862139) × cos(1.17054753) × R
    0.000766990000000023 × 0.389647487277031 × 6371000     		du = 1904.00983204463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17084628)-sin(1.17054753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389372331874061-0.389647487277031)×R²
    abs(-0.20862139--0.20938838)×0.000275155402969851×R²
    0.000766990000000023×0.000275155402969851×6371000²
    0.000766990000000023×0.000275155402969851×40589641000000     		ar = 3622691.39998496m²