Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38224 / 29263
↖ ↑ ↗
← N 18.901090°
E 29.970703°		 ← 577.85 m → N 18.901090°
E 29.976196°		 →
↑
577.91 m
↓
↑
577.91 m
↓
N 18.895893°
E 29.970703°		 ← 577.87 m →
333 955 m²		 N 18.895893°
E 29.976196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583259582519531 y=0.446525573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583259582519531 × 216)
    floor (0.583259582519531 × 65536)
    floor (38224.5)     		tx = 38224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446525573730469 × 216)
    floor (0.446525573730469 × 65536)
    floor (29263.5)     		ty = 29263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38224 / 29263 ti = "16/38224/29263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38224/29263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38224 ÷ 216
    38224 ÷ 65536     		x = 0.583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29263 ÷ 216
    29263 ÷ 65536     		y = 0.446517944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446517944335938 × 2 - 1) × π
    0.106964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.336037666336594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52308745} λ = 0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336037666336594))-π/2
    2×atan(1.39939173377832)-π/2
    2×0.950341286333123-π/2
    1.90068257266625-1.57079632675     		φ = 0.32988625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32988625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.901090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38224 KachelY 29263 0.52308745 0.32988625 29.970703 18.901090
    Oben rechts KachelX + 1 38225 KachelY 29263 0.52318332 0.32988625 29.976196 18.901090
    Unten links KachelX 38224 KachelY + 1 29264 0.52308745 0.32979554 29.970703 18.895893
    Unten rechts KachelX + 1 38225 KachelY + 1 29264 0.52318332 0.32979554 29.976196 18.895893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32988625-0.32979554) × R
    9.07099999999939e-05 × 6371000     		dl = 577.913409999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32988625-0.32979554) × R
    9.07099999999939e-05 × 6371000     		dr = 577.913409999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52308745-0.52318332) × cos(0.32988625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946079197302337 × 6371000     		do = 577.853603163672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52308745-0.52318332) × cos(0.32979554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946108577591385 × 6371000     		du = 577.871548284901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32988625)-sin(0.32979554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946079197302337-0.946108577591385)×R²
    abs(0.52318332-0.52308745)×2.93802890483086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93802890483086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93802890483086e-05×40589641000000     		ar = 333954.531877178m²