Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38222 / 29318
↖ ↑ ↗
← N 18.615013°
E 29.959717°		 ← 578.83 m → N 18.615013°
E 29.965210°		 →
↑
578.87 m
↓
↑
578.87 m
↓
N 18.609807°
E 29.959717°		 ← 578.85 m →
335 074 m²		 N 18.609807°
E 29.965210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583229064941406 y=0.447364807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583229064941406 × 216)
    floor (0.583229064941406 × 65536)
    floor (38222.5)     		tx = 38222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447364807128906 × 216)
    floor (0.447364807128906 × 65536)
    floor (29318.5)     		ty = 29318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38222 / 29318 ti = "16/38222/29318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38222/29318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38222 ÷ 216
    38222 ÷ 65536     		x = 0.583221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29318 ÷ 216
    29318 ÷ 65536     		y = 0.447357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583221435546875 × 2 - 1) × π
    0.16644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52289570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447357177734375 × 2 - 1) × π
    0.10528564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.330764607378387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52289570} λ = 0.52289570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330764607378387))-π/2
    2×atan(1.39203207965854)-π/2
    2×0.94784479944022-π/2
    1.89568959888044-1.57079632675     		φ = 0.32489327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52289570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.959717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32489327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.615013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38222 KachelY 29318 0.52289570 0.32489327 29.959717 18.615013
    Oben rechts KachelX + 1 38223 KachelY 29318 0.52299157 0.32489327 29.965210 18.615013
    Unten links KachelX 38222 KachelY + 1 29319 0.52289570 0.32480241 29.959717 18.609807
    Unten rechts KachelX + 1 38223 KachelY + 1 29319 0.52299157 0.32480241 29.965210 18.609807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32489327-0.32480241) × R
    9.08600000000259e-05 × 6371000     		dl = 578.869060000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32489327-0.32480241) × R
    9.08600000000259e-05 × 6371000     		dr = 578.869060000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52289570-0.52299157) × cos(0.32489327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947684800843982 × 6371000     		do = 578.834286170377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52289570-0.52299157) × cos(0.32480241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947713800138404 × 6371000     		du = 578.851998584749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32489327)-sin(0.32480241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947684800843982-0.947713800138404)×R²
    abs(0.52299157-0.52289570)×2.89992944217943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89992944217943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89992944217943e-05×40589641000000     		ar = 335074.385946151m²