Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38220 / 29124
↖ ↑ ↗
← N 19.621892°
E 29.948730°		 ← 575.38 m → N 19.621892°
E 29.954224°		 →
↑
575.30 m
↓
↑
575.30 m
↓
N 19.616718°
E 29.948730°		 ← 575.40 m →
331 022 m²		 N 19.616718°
E 29.954224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583198547363281 y=0.444404602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583198547363281 × 216)
    floor (0.583198547363281 × 65536)
    floor (38220.5)     		tx = 38220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444404602050781 × 216)
    floor (0.444404602050781 × 65536)
    floor (29124.5)     		ty = 29124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38220 / 29124 ti = "16/38220/29124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38220/29124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38220 ÷ 216
    38220 ÷ 65536     		x = 0.58319091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29124 ÷ 216
    29124 ÷ 65536     		y = 0.44439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58319091796875 × 2 - 1) × π
    0.1663818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52270395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    0.1112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.349364124430969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52270395} λ = 0.52270395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349364124430969))-π/2
    2×atan(1.41816548503879)-π/2
    2×0.956631475401696-π/2
    1.91326295080339-1.57079632675     		φ = 0.34246662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52270395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.948730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34246662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.621892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38220 KachelY 29124 0.52270395 0.34246662 29.948730 19.621892
    Oben rechts KachelX + 1 38221 KachelY 29124 0.52279983 0.34246662 29.954224 19.621892
    Unten links KachelX 38220 KachelY + 1 29125 0.52270395 0.34237632 29.948730 19.616718
    Unten rechts KachelX + 1 38221 KachelY + 1 29125 0.52279983 0.34237632 29.954224 19.616718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34246662-0.34237632) × R
    9.02999999999876e-05 × 6371000     		dl = 575.301299999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34246662-0.34237632) × R
    9.02999999999876e-05 × 6371000     		dr = 575.301299999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52270395-0.52279983) × cos(0.34246662) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.941929212472042 × 6371000     		do = 575.378853493404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52270395-0.52279983) × cos(0.34237632) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.941959532409512 × 6371000     		du = 575.397374472081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34246662)-sin(0.34237632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941929212472042-0.941959532409512)×R²
    abs(0.52279983-0.52270395)×3.03199374701579e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.03199374701579e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.03199374701579e-05×40589641000000     		ar = 331021.530203548m²