Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3822 / 877
↖ ↑ ↗
← N 71.159391°
E155.917969°		 ← 3 156.05 m → N 71.159391°
E156.005859°		 →
↑
3 158.30 m
↓
↑
3 158.30 m
↓
N 71.130988°
E155.917969°		 ← 3 160.64 m →
9 974 995 m²		 N 71.130988°
E156.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9332275390625 y=0.2142333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9332275390625 × 212)
    floor (0.9332275390625 × 4096)
    floor (3822.5)     		tx = 3822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2142333984375 × 212)
    floor (0.2142333984375 × 4096)
    floor (877.5)     		ty = 877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3822 / 877 ti = "12/3822/877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3822/877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3822 ÷ 212
    3822 ÷ 4096     		x = 0.93310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 877 ÷ 212
    877 ÷ 4096     		y = 0.214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93310546875 × 2 - 1) × π
    0.8662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72128192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214111328125 × 2 - 1) × π
    0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72128192} λ = 2.72128192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79629150256274))-π/2
    2×atan(6.02725391117705)-π/2
    2×1.40638100035856-π/2
    2.81276200071712-1.57079632675     		φ = 1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72128192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3822 KachelY 877 2.72128192 1.24196567 155.917969 71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 3823 KachelY 877 2.72281590 1.24196567 156.005859 71.159391
    Unten links KachelX 3822 KachelY + 1 878 2.72128192 1.24146994 155.917969 71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 3823 KachelY + 1 878 2.72281590 1.24146994 156.005859 71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24196567-1.24146994) × R
    0.000495729999999917 × 6371000     		dl = 3158.29582999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24196567-1.24146994) × R
    0.000495729999999917 × 6371000     		dr = 3158.29582999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72128192-2.72281590) × cos(1.24196567) × R
    0.00153398000000005 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 3156.05465650242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72128192-2.72281590) × cos(1.24146994) × R
    0.00153398000000005 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 3160.63945174788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24196567)-sin(1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.323405688309846)×R²
    abs(2.72281590-2.72128192)×0.00046912939129945×R²
    0.00153398000000005×0.00046912939129945×6371000²
    0.00153398000000005×0.00046912939129945×40589641000000     		ar = 9974994.53501437m²