Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3822 / 2134
↖ ↑ ↗
← N 64.960766°
W 12.041016°		 ← 2 068.15 m → N 64.960766°
W 11.997070°		 →
↑
2 068.92 m
↓
↑
2 068.92 m
↓
N 64.942160°
W 12.041016°		 ← 2 069.59 m →
4 280 328 m²		 N 64.942160°
W 11.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46661376953125 y=0.26055908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46661376953125 × 213)
    floor (0.46661376953125 × 8192)
    floor (3822.5)     		tx = 3822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26055908203125 × 213)
    floor (0.26055908203125 × 8192)
    floor (2134.5)     		ty = 2134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3822 / 2134 ti = "13/3822/2134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3822/2134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3822 ÷ 213
    3822 ÷ 8192     		x = 0.466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2134 ÷ 213
    2134 ÷ 8192     		y = 0.260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260498046875 × 2 - 1) × π
    0.47900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5048351528728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21015537} λ = -0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5048351528728))-π/2
    2×atan(4.50341119469794)-π/2
    2×1.35228779185275-π/2
    2.70457558370549-1.57079632675     		φ = 1.13377926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13377926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.960766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3822 KachelY 2134 -0.21015537 1.13377926 -12.041016 64.960766
    Oben rechts KachelX + 1 3823 KachelY 2134 -0.20938838 1.13377926 -11.997070 64.960766
    Unten links KachelX 3822 KachelY + 1 2135 -0.21015537 1.13345452 -12.041016 64.942160
    Unten rechts KachelX + 1 3823 KachelY + 1 2135 -0.20938838 1.13345452 -11.997070 64.942160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13377926-1.13345452) × R
    0.000324740000000157 × 6371000     		dl = 2068.918540001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13377926-1.13345452) × R
    0.000324740000000157 × 6371000     		dr = 2068.918540001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21015537--0.20938838) × cos(1.13377926) × R
    0.000766989999999995 × 0.423238760309742 × 6371000     		do = 2068.15336232146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21015537--0.20938838) × cos(1.13345452) × R
    0.000766989999999995 × 0.42353295833346 × 6371000     		du = 2069.59095899029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13377926)-sin(1.13345452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423238760309742-0.42353295833346)×R²
    abs(-0.20938838--0.21015537)×0.000294198023717884×R²
    0.000766989999999995×0.000294198023717884×6371000²
    0.000766989999999995×0.000294198023717884×40589641000000     		ar = 4280328.00768793m²