Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38219 / 28985
↖ ↑ ↗
← N 20.339476°
E 29.943237°		 ← 572.70 m → N 20.339476°
E 29.948730°		 →
↑
572.75 m
↓
↑
572.75 m
↓
N 20.334325°
E 29.943237°		 ← 572.72 m →
328 024 m²		 N 20.334325°
E 29.948730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583183288574219 y=0.442283630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583183288574219 × 216)
    floor (0.583183288574219 × 65536)
    floor (38219.5)     		tx = 38219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442283630371094 × 216)
    floor (0.442283630371094 × 65536)
    floor (28985.5)     		ty = 28985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38219 / 28985 ti = "16/38219/28985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38219/28985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38219 ÷ 216
    38219 ÷ 65536     		x = 0.583175659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28985 ÷ 216
    28985 ÷ 65536     		y = 0.442276000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583175659179688 × 2 - 1) × π
    0.166351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52260808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442276000976562 × 2 - 1) × π
    0.115447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.362690582525345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52260808} λ = 0.52260808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362690582525345))-π/2
    2×atan(1.43719109839611)-π/2
    2×0.962893578753058-π/2
    1.92578715750612-1.57079632675     		φ = 0.35499083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52260808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.943237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35499083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.339476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38219 KachelY 28985 0.52260808 0.35499083 29.943237 20.339476
    Oben rechts KachelX + 1 38220 KachelY 28985 0.52270395 0.35499083 29.948730 20.339476
    Unten links KachelX 38219 KachelY + 1 28986 0.52260808 0.35490093 29.943237 20.334325
    Unten rechts KachelX + 1 38220 KachelY + 1 28986 0.52270395 0.35490093 29.948730 20.334325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35499083-0.35490093) × R
    8.98999999999761e-05 × 6371000     		dl = 572.752899999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35499083-0.35490093) × R
    8.98999999999761e-05 × 6371000     		dr = 572.752899999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52260808-0.52270395) × cos(0.35499083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937649676183576 × 6371000     		do = 572.704954757376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52260808-0.52270395) × cos(0.35490093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93768091999534 × 6371000     		du = 572.72403809549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35499083)-sin(0.35490093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937649676183576-0.93768091999534)×R²
    abs(0.52270395-0.52260808)×3.12438117644476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12438117644476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12438117644476e-05×40589641000000     		ar = 328023.888921306m²