Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38217 / 29321
↖ ↑ ↗
← N 18.599395°
E 29.932251°		 ← 578.95 m → N 18.599395°
E 29.937744°		 →
↑
578.93 m
↓
↑
578.93 m
↓
N 18.594189°
E 29.932251°		 ← 578.97 m →
335 177 m²		 N 18.594189°
E 29.937744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583152770996094 y=0.447410583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583152770996094 × 216)
    floor (0.583152770996094 × 65536)
    floor (38217.5)     		tx = 38217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447410583496094 × 216)
    floor (0.447410583496094 × 65536)
    floor (29321.5)     		ty = 29321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38217 / 29321 ti = "16/38217/29321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38217/29321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38217 ÷ 216
    38217 ÷ 65536     		x = 0.583145141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29321 ÷ 216
    29321 ÷ 65536     		y = 0.447402954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583145141601562 × 2 - 1) × π
    0.166290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52241633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447402954101562 × 2 - 1) × π
    0.105194091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.330476985980667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52241633} λ = 0.52241633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330476985980667))-π/2
    2×atan(1.39163175901927)-π/2
    2×0.947708505971974-π/2
    1.89541701194395-1.57079632675     		φ = 0.32462069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52241633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.932251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32462069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.599395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38217 KachelY 29321 0.52241633 0.32462069 29.932251 18.599395
    Oben rechts KachelX + 1 38218 KachelY 29321 0.52251221 0.32462069 29.937744 18.599395
    Unten links KachelX 38217 KachelY + 1 29322 0.52241633 0.32452982 29.932251 18.594189
    Unten rechts KachelX + 1 38218 KachelY + 1 29322 0.52251221 0.32452982 29.937744 18.594189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32462069-0.32452982) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dl = 578.932769999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32462069-0.32452982) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dr = 578.932769999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52241633-0.52251221) × cos(0.32462069) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.947771775255342 × 6371000     		do = 578.947791617244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52241633-0.52251221) × cos(0.32452982) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.947800754266011 × 6371000     		du = 578.9654934888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32462069)-sin(0.32452982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947771775255342-0.947800754266011)×R²
    abs(0.52251221-0.52241633)×2.89790106693388e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.89790106693388e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.89790106693388e-05×40589641000000     		ar = 335176.973013514m²