Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38213 / 29005
↖ ↑ ↗
← N 20.236429°
E 29.910279°		 ← 573.09 m → N 20.236429°
E 29.915771°		 →
↑
573.14 m
↓
↑
573.14 m
↓
N 20.231274°
E 29.910279°		 ← 573.10 m →
328 461 m²		 N 20.231274°
E 29.915771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583091735839844 y=0.442588806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583091735839844 × 216)
    floor (0.583091735839844 × 65536)
    floor (38213.5)     		tx = 38213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442588806152344 × 216)
    floor (0.442588806152344 × 65536)
    floor (29005.5)     		ty = 29005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38213 / 29005 ti = "16/38213/29005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38213/29005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38213 ÷ 216
    38213 ÷ 65536     		x = 0.583084106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29005 ÷ 216
    29005 ÷ 65536     		y = 0.442581176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583084106445312 × 2 - 1) × π
    0.166168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52203284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442581176757812 × 2 - 1) × π
    0.114837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360773106540543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52203284} λ = 0.52203284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360773106540543))-π/2
    2×atan(1.43443795936189)-π/2
    2×0.961994319233918-π/2
    1.92398863846784-1.57079632675     		φ = 0.35319231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52203284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.910279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35319231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.236429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38213 KachelY 29005 0.52203284 0.35319231 29.910279 20.236429
    Oben rechts KachelX + 1 38214 KachelY 29005 0.52212871 0.35319231 29.915771 20.236429
    Unten links KachelX 38213 KachelY + 1 29006 0.52203284 0.35310235 29.910279 20.231274
    Unten rechts KachelX + 1 38214 KachelY + 1 29006 0.52212871 0.35310235 29.915771 20.231274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35319231-0.35310235) × R
    8.996e-05 × 6371000     		dl = 573.13516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35319231-0.35310235) × R
    8.996e-05 × 6371000     		dr = 573.13516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52203284-0.52212871) × cos(0.35319231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938273292110954 × 6371000     		do = 573.085851738996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52203284-0.52212871) × cos(0.35310235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938304405012655 × 6371000     		du = 573.104855118844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35319231)-sin(0.35310235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938273292110954-0.938304405012655)×R²
    abs(0.52212871-0.52203284)×3.11129017006584e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11129017006584e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11129017006584e-05×40589641000000     		ar = 328461.09730433m²