Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38210 / 30010
↖ ↑ ↗
← N 14.976627°
E 29.893799°		 ← 590.04 m → N 14.976627°
E 29.899292°		 →
↑
590.08 m
↓
↑
590.08 m
↓
N 14.971320°
E 29.893799°		 ← 590.05 m →
348 176 m²		 N 14.971320°
E 29.899292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583045959472656 y=0.457923889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583045959472656 × 216)
    floor (0.583045959472656 × 65536)
    floor (38210.5)     		tx = 38210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457923889160156 × 216)
    floor (0.457923889160156 × 65536)
    floor (30010.5)     		ty = 30010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38210 / 30010 ti = "16/38210/30010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38210/30010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38210 ÷ 216
    38210 ÷ 65536     		x = 0.583038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30010 ÷ 216
    30010 ÷ 65536     		y = 0.457916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583038330078125 × 2 - 1) × π
    0.16607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52174522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457916259765625 × 2 - 1) × π
    0.08416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.26441993830423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52174522} λ = 0.52174522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26441993830423))-π/2
    2×atan(1.30267512463758)-π/2
    2×0.916093886350182-π/2
    1.83218777270036-1.57079632675     		φ = 0.26139145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52174522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.893799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26139145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.976627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38210 KachelY 30010 0.52174522 0.26139145 29.893799 14.976627
    Oben rechts KachelX + 1 38211 KachelY 30010 0.52184109 0.26139145 29.899292 14.976627
    Unten links KachelX 38210 KachelY + 1 30011 0.52174522 0.26129883 29.893799 14.971320
    Unten rechts KachelX + 1 38211 KachelY + 1 30011 0.52184109 0.26129883 29.899292 14.971320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26139145-0.26129883) × R
    9.26200000000432e-05 × 6371000     		dl = 590.082020000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26139145-0.26129883) × R
    9.26200000000432e-05 × 6371000     		dr = 590.082020000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52174522-0.52184109) × cos(0.26139145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966031327986351 × 6371000     		do = 590.040120570909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52174522-0.52184109) × cos(0.26129883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96605525916498 × 6371000     		du = 590.054737442137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26139145)-sin(0.26129883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966031327986351-0.96605525916498)×R²
    abs(0.52184109-0.52174522)×2.39311786293106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.39311786293106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.39311786293106e-05×40589641000000     		ar = 348176.379052937m²