Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38210 / 29221
↖ ↑ ↗
← N 19.119219°
E 29.893799°		 ← 577.10 m → N 19.119219°
E 29.899292°		 →
↑
577.15 m
↓
↑
577.15 m
↓
N 19.114029°
E 29.893799°		 ← 577.11 m →
333 076 m²		 N 19.114029°
E 29.899292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583045959472656 y=0.445884704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583045959472656 × 216)
    floor (0.583045959472656 × 65536)
    floor (38210.5)     		tx = 38210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445884704589844 × 216)
    floor (0.445884704589844 × 65536)
    floor (29221.5)     		ty = 29221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38210 / 29221 ti = "16/38210/29221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38210/29221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38210 ÷ 216
    38210 ÷ 65536     		x = 0.583038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29221 ÷ 216
    29221 ÷ 65536     		y = 0.445877075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583038330078125 × 2 - 1) × π
    0.16607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52174522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445877075195312 × 2 - 1) × π
    0.108245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.340064365904678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52174522} λ = 0.52174522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340064365904678))-π/2
    2×atan(1.40503802419668)-π/2
    2×0.95224482832957-π/2
    1.90448965665914-1.57079632675     		φ = 0.33369333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52174522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.893799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33369333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.119219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38210 KachelY 29221 0.52174522 0.33369333 29.893799 19.119219
    Oben rechts KachelX + 1 38211 KachelY 29221 0.52184109 0.33369333 29.899292 19.119219
    Unten links KachelX 38210 KachelY + 1 29222 0.52174522 0.33360274 29.893799 19.114029
    Unten rechts KachelX + 1 38211 KachelY + 1 29222 0.52184109 0.33360274 29.899292 19.114029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33369333-0.33360274) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dl = 577.14889000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33369333-0.33360274) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dr = 577.14889000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52174522-0.52184109) × cos(0.33369333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944839096085009 × 6371000     		do = 577.096164506566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52174522-0.52184109) × cos(0.33360274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944868763590724 × 6371000     		du = 577.114285056223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33369333)-sin(0.33360274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944839096085009-0.944868763590724)×R²
    abs(0.52184109-0.52174522)×2.9667505715647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9667505715647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9667505715647e-05×40589641000000     		ar = 333075.640123587m²