Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3821 / 876
↖ ↑ ↗
← N 71.187754°
E155.830078°		 ← 3 151.48 m → N 71.187754°
E155.917969°		 →
↑
3 153.77 m
↓
↑
3 153.77 m
↓
N 71.159391°
E155.830078°		 ← 3 156.05 m →
9 946 258 m²		 N 71.159391°
E155.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9329833984375 y=0.2139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9329833984375 × 212)
    floor (0.9329833984375 × 4096)
    floor (3821.5)     		tx = 3821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2139892578125 × 212)
    floor (0.2139892578125 × 4096)
    floor (876.5)     		ty = 876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3821 / 876 ti = "12/3821/876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3821/876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3821 ÷ 212
    3821 ÷ 4096     		x = 0.932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 876 ÷ 212
    876 ÷ 4096     		y = 0.2138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932861328125 × 2 - 1) × π
    0.86572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71974794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2138671875 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71974794} λ = 2.71974794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79782548335059))-π/2
    2×atan(6.03650669786435)-π/2
    2×1.40662850987461-π/2
    2.81325701974922-1.57079632675     		φ = 1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71974794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3821 KachelY 876 2.71974794 1.24246069 155.830078 71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 3822 KachelY 876 2.72128192 1.24246069 155.917969 71.187754
    Unten links KachelX 3821 KachelY + 1 877 2.71974794 1.24196567 155.830078 71.159391
    Unten rechts KachelX + 1 3822 KachelY + 1 877 2.72128192 1.24196567 155.917969 71.159391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24246069-1.24196567) × R
    0.000495020000000013 × 6371000     		dl = 3153.77242000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24246069-1.24196567) × R
    0.000495020000000013 × 6371000     		dr = 3153.77242000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71974794-2.72128192) × cos(1.24246069) × R
    0.00153398000000005 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 3151.47565381409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71974794-2.72128192) × cos(1.24196567) × R
    0.00153398000000005 × 0.322936558918546 × 6371000     		du = 3156.05465650242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24246069)-sin(1.24196567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.322936558918546)×R²
    abs(2.72128192-2.71974794)×0.000468536680250986×R²
    0.00153398000000005×0.000468536680250986×6371000²
    0.00153398000000005×0.000468536680250986×40589641000000     		ar = 9946257.76860151m²