Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3821 / 2021
↖ ↑ ↗
← N 66.981666°
W 12.084961°		 ← 1 910.74 m → N 66.981666°
W 12.041016°		 →
↑
1 911.43 m
↓
↑
1 911.43 m
↓
N 66.964476°
W 12.084961°		 ← 1 912.09 m →
3 653 538 m²		 N 66.964476°
W 12.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46649169921875 y=0.24676513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46649169921875 × 213)
    floor (0.46649169921875 × 8192)
    floor (3821.5)     		tx = 3821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24676513671875 × 213)
    floor (0.24676513671875 × 8192)
    floor (2021.5)     		ty = 2021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3821 / 2021 ti = "13/3821/2021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3821/2021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3821 ÷ 213
    3821 ÷ 8192     		x = 0.4664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2021 ÷ 213
    2021 ÷ 8192     		y = 0.2467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21092236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2467041015625 × 2 - 1) × π
    0.506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21092236} λ = -0.21092236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59150506738586))-π/2
    2×atan(4.91113495774886)-π/2
    2×1.36992346944409-π/2
    2.73984693888818-1.57079632675     		φ = 1.16905061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21092236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.084961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16905061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.981666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3821 KachelY 2021 -0.21092236 1.16905061 -12.084961 66.981666
    Oben rechts KachelX + 1 3822 KachelY 2021 -0.21015537 1.16905061 -12.041016 66.981666
    Unten links KachelX 3821 KachelY + 1 2022 -0.21092236 1.16875059 -12.084961 66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 3822 KachelY + 1 2022 -0.21015537 1.16875059 -12.041016 66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16905061-1.16875059) × R
    0.000300020000000067 × 6371000     		dl = 1911.42742000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16905061-1.16875059) × R
    0.000300020000000067 × 6371000     		dr = 1911.42742000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21092236--0.21015537) × cos(1.16905061) × R
    0.000766989999999995 × 0.391025659756983 × 6371000     		do = 1910.74426262031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21092236--0.21015537) × cos(1.16875059) × R
    0.000766989999999995 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 1912.09349543467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16905061)-sin(1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391025659756983-0.391301774494954)×R²
    abs(-0.21015537--0.21092236)×0.000276114737970956×R²
    0.000766989999999995×0.000276114737970956×6371000²
    0.000766989999999995×0.000276114737970956×40589641000000     		ar = 3653538.48388595m²