Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3821 / 2016
↖ ↑ ↗
← N 67.067433°
W 12.084961°		 ← 1 904.01 m → N 67.067433°
W 12.041016°		 →
↑
1 904.67 m
↓
↑
1 904.67 m
↓
N 67.050304°
W 12.084961°		 ← 1 905.36 m →
3 627 800 m²		 N 67.050304°
W 12.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46649169921875 y=0.24615478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46649169921875 × 213)
    floor (0.46649169921875 × 8192)
    floor (3821.5)     		tx = 3821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24615478515625 × 213)
    floor (0.24615478515625 × 8192)
    floor (2016.5)     		ty = 2016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3821 / 2016 ti = "13/3821/2016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3821/2016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3821 ÷ 213
    3821 ÷ 8192     		x = 0.4664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2016 ÷ 213
    2016 ÷ 8192     		y = 0.24609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21092236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24609375 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21092236} λ = -0.21092236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59534001935547))-π/2
    2×atan(4.93000508431591)-π/2
    2×1.37067192980769-π/2
    2.74134385961538-1.57079632675     		φ = 1.17054753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21092236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.084961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17054753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.067433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3821 KachelY 2016 -0.21092236 1.17054753 -12.084961 67.067433
    Oben rechts KachelX + 1 3822 KachelY 2016 -0.21015537 1.17054753 -12.041016 67.067433
    Unten links KachelX 3821 KachelY + 1 2017 -0.21092236 1.17024857 -12.084961 67.050304
    Unten rechts KachelX + 1 3822 KachelY + 1 2017 -0.21015537 1.17024857 -12.041016 67.050304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17054753-1.17024857) × R
    0.000298959999999848 × 6371000     		dl = 1904.67415999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17054753-1.17024857) × R
    0.000298959999999848 × 6371000     		dr = 1904.67415999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21092236--0.21015537) × cos(1.17054753) × R
    0.000766989999999995 × 0.389647487277031 × 6371000     		do = 1904.00983204456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21092236--0.21015537) × cos(1.17024857) × R
    0.000766989999999995 × 0.389922801281348 × 6371000     		du = 1905.3551520793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17054753)-sin(1.17024857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389647487277031-0.389922801281348)×R²
    abs(-0.21015537--0.21092236)×0.000275314004316851×R²
    0.000766989999999995×0.000275314004316851×6371000²
    0.000766989999999995×0.000275314004316851×40589641000000     		ar = 3627799.55265398m²