Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38209 / 30912
↖ ↑ ↗
← N 10.141932°
E 29.888306°		 ← 601.31 m → N 10.141932°
E 29.893799°		 →
↑
601.29 m
↓
↑
601.29 m
↓
N 10.136524°
E 29.888306°		 ← 601.32 m →
361 566 m²		 N 10.136524°
E 29.893799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583030700683594 y=0.471687316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583030700683594 × 216)
    floor (0.583030700683594 × 65536)
    floor (38209.5)     		tx = 38209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471687316894531 × 216)
    floor (0.471687316894531 × 65536)
    floor (30912.5)     		ty = 30912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38209 / 30912 ti = "16/38209/30912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38209/30912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38209 ÷ 216
    38209 ÷ 65536     		x = 0.583023071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30912 ÷ 216
    30912 ÷ 65536     		y = 0.4716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583023071289062 × 2 - 1) × π
    0.166046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52164934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52164934} λ = 0.52164934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177941771389648))-π/2
    2×atan(1.19475575024226)-π/2
    2×0.873903213612608-π/2
    1.74780642722522-1.57079632675     		φ = 0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52164934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.888306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38209 KachelY 30912 0.52164934 0.17701010 29.888306 10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 38210 KachelY 30912 0.52174522 0.17701010 29.893799 10.141932
    Unten links KachelX 38209 KachelY + 1 30913 0.52164934 0.17691572 29.888306 10.136524
    Unten rechts KachelX + 1 38210 KachelY + 1 30913 0.52174522 0.17691572 29.893799 10.136524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17701010-0.17691572) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dl = 601.294980000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17701010-0.17691572) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dr = 601.294980000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52164934-0.52174522) × cos(0.17701010) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 601.306666000672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52164934-0.52174522) × cos(0.17691572) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984391189703264 × 6371000     		du = 601.316815129502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17701010)-sin(0.17691572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984391189703264)×R²
    abs(0.52174522-0.52164934)×1.66147241386083e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.66147241386083e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.66147241386083e-05×40589641000000     		ar = 361565.731285157m²