Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38209 / 28999
↖ ↑ ↗
← N 20.267350°
E 29.888306°		 ← 573.03 m → N 20.267350°
E 29.893799°		 →
↑
573.01 m
↓
↑
573.01 m
↓
N 20.262197°
E 29.888306°		 ← 573.05 m →
328 357 m²		 N 20.262197°
E 29.893799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583030700683594 y=0.442497253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583030700683594 × 216)
    floor (0.583030700683594 × 65536)
    floor (38209.5)     		tx = 38209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442497253417969 × 216)
    floor (0.442497253417969 × 65536)
    floor (28999.5)     		ty = 28999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38209 / 28999 ti = "16/38209/28999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38209/28999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38209 ÷ 216
    38209 ÷ 65536     		x = 0.583023071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28999 ÷ 216
    28999 ÷ 65536     		y = 0.442489624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583023071289062 × 2 - 1) × π
    0.166046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52164934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442489624023438 × 2 - 1) × π
    0.115020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.361348349335983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52164934} λ = 0.52164934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361348349335983))-π/2
    2×atan(1.43526334683986)-π/2
    2×0.962264159849915-π/2
    1.92452831969983-1.57079632675     		φ = 0.35373199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52164934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.888306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35373199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.267350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38209 KachelY 28999 0.52164934 0.35373199 29.888306 20.267350
    Oben rechts KachelX + 1 38210 KachelY 28999 0.52174522 0.35373199 29.893799 20.267350
    Unten links KachelX 38209 KachelY + 1 29000 0.52164934 0.35364205 29.888306 20.262197
    Unten rechts KachelX + 1 38210 KachelY + 1 29000 0.52174522 0.35364205 29.893799 20.262197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35373199-0.35364205) × R
    8.99400000000106e-05 × 6371000     		dl = 573.007740000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35373199-0.35364205) × R
    8.99400000000106e-05 × 6371000     		dr = 573.007740000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52164934-0.52174522) × cos(0.35373199) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.93808648296321 × 6371000     		do = 573.031516486359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52164934-0.52174522) × cos(0.35364205) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.938117634487603 × 6371000     		du = 573.050545441139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35373199)-sin(0.35364205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93808648296321-0.938117634487603)×R²
    abs(0.52174522-0.52164934)×3.1151524392703e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.1151524392703e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.1151524392703e-05×40589641000000     		ar = 328356.94630117m²