Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38206 / 28990
↖ ↑ ↗
← N 20.313721°
E 29.871826°		 ← 572.80 m → N 20.313721°
E 29.877319°		 →
↑
572.82 m
↓
↑
572.82 m
↓
N 20.308569°
E 29.871826°		 ← 572.82 m →
328 115 m²		 N 20.308569°
E 29.877319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582984924316406 y=0.442359924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582984924316406 × 216)
    floor (0.582984924316406 × 65536)
    floor (38206.5)     		tx = 38206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442359924316406 × 216)
    floor (0.442359924316406 × 65536)
    floor (28990.5)     		ty = 28990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38206 / 28990 ti = "16/38206/28990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38206/28990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38206 ÷ 216
    38206 ÷ 65536     		x = 0.582977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28990 ÷ 216
    28990 ÷ 65536     		y = 0.442352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582977294921875 × 2 - 1) × π
    0.16595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52136172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442352294921875 × 2 - 1) × π
    0.11529541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.362211213529144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52136172} λ = 0.52136172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362211213529144))-π/2
    2×atan(1.43650231864494)-π/2
    2×0.962668819944528-π/2
    1.92533763988906-1.57079632675     		φ = 0.35454131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52136172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.871826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35454131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.313721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38206 KachelY 28990 0.52136172 0.35454131 29.871826 20.313721
    Oben rechts KachelX + 1 38207 KachelY 28990 0.52145759 0.35454131 29.877319 20.313721
    Unten links KachelX 38206 KachelY + 1 28991 0.52136172 0.35445140 29.871826 20.308569
    Unten rechts KachelX + 1 38207 KachelY + 1 28991 0.52145759 0.35445140 29.877319 20.308569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35454131-0.35445140) × R
    8.99099999999708e-05 × 6371000     		dl = 572.816609999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35454131-0.35445140) × R
    8.99099999999708e-05 × 6371000     		dr = 572.816609999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52136172-0.52145759) × cos(0.35454131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937805826399613 × 6371000     		do = 572.800329399614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52136172-0.52145759) × cos(0.35445140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937837035786194 × 6371000     		du = 572.819391711247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35454131)-sin(0.35445140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937805826399613-0.937837035786194)×R²
    abs(0.52145759-0.52136172)×3.12093865806329e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12093865806329e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12093865806329e-05×40589641000000     		ar = 328115.00271881m²