Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38205 / 28979
↖ ↑ ↗
← N 20.370377°
E 29.866333°		 ← 572.59 m → N 20.370377°
E 29.871826°		 →
↑
572.63 m
↓
↑
572.63 m
↓
N 20.365227°
E 29.866333°		 ← 572.61 m →
327 885 m²		 N 20.365227°
E 29.871826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582969665527344 y=0.442192077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582969665527344 × 216)
    floor (0.582969665527344 × 65536)
    floor (38205.5)     		tx = 38205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442192077636719 × 216)
    floor (0.442192077636719 × 65536)
    floor (28979.5)     		ty = 28979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38205 / 28979 ti = "16/38205/28979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38205/28979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38205 ÷ 216
    38205 ÷ 65536     		x = 0.582962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28979 ÷ 216
    28979 ÷ 65536     		y = 0.442184448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582962036132812 × 2 - 1) × π
    0.165924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52126585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442184448242188 × 2 - 1) × π
    0.115631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363265825320786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52126585} λ = 0.52126585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363265825320786))-π/2
    2×atan(1.43801807005307)-π/2
    2×0.963163239890899-π/2
    1.9263264797818-1.57079632675     		φ = 0.35553015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52126585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.866333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35553015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.370377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38205 KachelY 28979 0.52126585 0.35553015 29.866333 20.370377
    Oben rechts KachelX + 1 38206 KachelY 28979 0.52136172 0.35553015 29.871826 20.370377
    Unten links KachelX 38205 KachelY + 1 28980 0.52126585 0.35544027 29.866333 20.365227
    Unten rechts KachelX + 1 38206 KachelY + 1 28980 0.52136172 0.35544027 29.871826 20.365227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35553015-0.35544027) × R
    8.98799999999866e-05 × 6371000     		dl = 572.625479999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35553015-0.35544027) × R
    8.98799999999866e-05 × 6371000     		dr = 572.625479999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52126585-0.52136172) × cos(0.35553015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937462082028852 × 6371000     		do = 572.590374541947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52126585-0.52136172) × cos(0.35544027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937493364338586 × 6371000     		du = 572.60948139415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35553015)-sin(0.35544027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937462082028852-0.937493364338586)×R²
    abs(0.52136172-0.52126585)×3.12823097338155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12823097338155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12823097338155e-05×40589641000000     		ar = 327885.308821326m²