Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38204 / 29691
↖ ↑ ↗
← N 16.662506°
E 29.860840°		 ← 585.20 m → N 16.662506°
E 29.866333°		 →
↑
585.18 m
↓
↑
585.18 m
↓
N 16.657244°
E 29.860840°		 ← 585.22 m →
342 451 m²		 N 16.657244°
E 29.866333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582954406738281 y=0.453056335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582954406738281 × 216)
    floor (0.582954406738281 × 65536)
    floor (38204.5)     		tx = 38204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453056335449219 × 216)
    floor (0.453056335449219 × 65536)
    floor (29691.5)     		ty = 29691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38204 / 29691 ti = "16/38204/29691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38204/29691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38204 ÷ 216
    38204 ÷ 65536     		x = 0.58294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29691 ÷ 216
    29691 ÷ 65536     		y = 0.453048706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58294677734375 × 2 - 1) × π
    0.1658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52116997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453048706054688 × 2 - 1) × π
    0.093902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.295003680261826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52116997} λ = 0.52116997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295003680261826))-π/2
    2×atan(1.34313130175204)-π/2
    2×0.930805961029098-π/2
    1.8616119220582-1.57079632675     		φ = 0.29081560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52116997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.860840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29081560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.662506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38204 KachelY 29691 0.52116997 0.29081560 29.860840 16.662506
    Oben rechts KachelX + 1 38205 KachelY 29691 0.52126585 0.29081560 29.866333 16.662506
    Unten links KachelX 38204 KachelY + 1 29692 0.52116997 0.29072375 29.860840 16.657244
    Unten rechts KachelX + 1 38205 KachelY + 1 29692 0.52126585 0.29072375 29.866333 16.657244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29081560-0.29072375) × R
    9.18500000000044e-05 × 6371000     		dl = 585.176350000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29081560-0.29072375) × R
    9.18500000000044e-05 × 6371000     		dr = 585.176350000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52116997-0.52126585) × cos(0.29081560) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.958010334190253 × 6371000     		do = 585.202030495705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52116997-0.52126585) × cos(0.29072375) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.958036666637048 × 6371000     		du = 585.218115709801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29081560)-sin(0.29072375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958010334190253-0.958036666637048)×R²
    abs(0.52126585-0.52116997)×2.63324467945081e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.63324467945081e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.63324467945081e-05×40589641000000     		ar = 342451.094802132m²