Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38204 / 28986
↖ ↑ ↗
← N 20.334325°
E 29.860840°		 ← 572.78 m → N 20.334325°
E 29.866333°		 →
↑
572.75 m
↓
↑
572.75 m
↓
N 20.329175°
E 29.860840°		 ← 572.80 m →
328 069 m²		 N 20.329175°
E 29.866333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582954406738281 y=0.442298889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582954406738281 × 216)
    floor (0.582954406738281 × 65536)
    floor (38204.5)     		tx = 38204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442298889160156 × 216)
    floor (0.442298889160156 × 65536)
    floor (28986.5)     		ty = 28986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38204 / 28986 ti = "16/38204/28986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38204/28986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38204 ÷ 216
    38204 ÷ 65536     		x = 0.58294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28986 ÷ 216
    28986 ÷ 65536     		y = 0.442291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58294677734375 × 2 - 1) × π
    0.1658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52116997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442291259765625 × 2 - 1) × π
    0.11541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.362594708726105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52116997} λ = 0.52116997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362594708726105))-π/2
    2×atan(1.43705331603023)-π/2
    2×0.962848629985793-π/2
    1.92569725997159-1.57079632675     		φ = 0.35490093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52116997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.860840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35490093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.334325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38204 KachelY 28986 0.52116997 0.35490093 29.860840 20.334325
    Oben rechts KachelX + 1 38205 KachelY 28986 0.52126585 0.35490093 29.866333 20.334325
    Unten links KachelX 38204 KachelY + 1 28987 0.52116997 0.35481103 29.860840 20.329175
    Unten rechts KachelX + 1 38205 KachelY + 1 28987 0.52126585 0.35481103 29.866333 20.329175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35490093-0.35481103) × R
    8.98999999999761e-05 × 6371000     		dl = 572.752899999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35490093-0.35481103) × R
    8.98999999999761e-05 × 6371000     		dr = 572.752899999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52116997-0.52126585) × cos(0.35490093) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.93768091999534 × 6371000     		do = 572.783777747203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52116997-0.52126585) × cos(0.35481103) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.937712156228758 × 6371000     		du = 572.802858446616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35490093)-sin(0.35481103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93768091999534-0.937712156228758)×R²
    abs(0.52126585-0.52116997)×3.12362334178307e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.12362334178307e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.12362334178307e-05×40589641000000     		ar = 328069.034261363m²