Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38203 / 29285
↖ ↑ ↗
← N 18.786717°
E 29.855347°		 ← 578.25 m → N 18.786717°
E 29.860840°		 →
↑
578.23 m
↓
↑
578.23 m
↓
N 18.781517°
E 29.855347°		 ← 578.27 m →
334 366 m²		 N 18.781517°
E 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582939147949219 y=0.446861267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582939147949219 × 216)
    floor (0.582939147949219 × 65536)
    floor (38203.5)     		tx = 38203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446861267089844 × 216)
    floor (0.446861267089844 × 65536)
    floor (29285.5)     		ty = 29285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38203 / 29285 ti = "16/38203/29285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38203/29285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38203 ÷ 216
    38203 ÷ 65536     		x = 0.582931518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29285 ÷ 216
    29285 ÷ 65536     		y = 0.446853637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582931518554688 × 2 - 1) × π
    0.165863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52107410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446853637695312 × 2 - 1) × π
    0.106292724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.333928442753311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52107410} λ = 0.52107410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333928442753311))-π/2
    2×atan(1.39644321436764)-π/2
    2×0.949343199783328-π/2
    1.89868639956666-1.57079632675     		φ = 0.32789007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52107410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.855347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32789007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.786717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38203 KachelY 29285 0.52107410 0.32789007 29.855347 18.786717
    Oben rechts KachelX + 1 38204 KachelY 29285 0.52116997 0.32789007 29.860840 18.786717
    Unten links KachelX 38203 KachelY + 1 29286 0.52107410 0.32779931 29.855347 18.781517
    Unten rechts KachelX + 1 38204 KachelY + 1 29286 0.52116997 0.32779931 29.860840 18.781517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32789007-0.32779931) × R
    9.07599999999675e-05 × 6371000     		dl = 578.231959999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32789007-0.32779931) × R
    9.07599999999675e-05 × 6371000     		dr = 578.231959999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52107410-0.52116997) × cos(0.32789007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94672394533095 × 6371000     		do = 578.24740737428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52107410-0.52116997) × cos(0.32779931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946753170347072 × 6371000     		du = 578.265257656705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32789007)-sin(0.32779931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94672394533095-0.946753170347072)×R²
    abs(0.52116997-0.52107410)×2.92250161217922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92250161217922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92250161217922e-05×40589641000000     		ar = 334366.292762264m²