Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38203 / 28977
↖ ↑ ↗
← N 20.380676°
E 29.855347°		 ← 572.55 m → N 20.380676°
E 29.860840°		 →
↑
572.56 m
↓
↑
572.56 m
↓
N 20.375527°
E 29.855347°		 ← 572.57 m →
327 827 m²		 N 20.375527°
E 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582939147949219 y=0.442161560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582939147949219 × 216)
    floor (0.582939147949219 × 65536)
    floor (38203.5)     		tx = 38203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442161560058594 × 216)
    floor (0.442161560058594 × 65536)
    floor (28977.5)     		ty = 28977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38203 / 28977 ti = "16/38203/28977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38203/28977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38203 ÷ 216
    38203 ÷ 65536     		x = 0.582931518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28977 ÷ 216
    28977 ÷ 65536     		y = 0.442153930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582931518554688 × 2 - 1) × π
    0.165863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52107410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442153930664062 × 2 - 1) × π
    0.115692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.363457572919266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52107410} λ = 0.52107410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363457572919266))-π/2
    2×atan(1.43829383300217)-π/2
    2×0.963253114942378-π/2
    1.92650622988476-1.57079632675     		φ = 0.35570990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52107410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.855347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35570990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.380676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38203 KachelY 28977 0.52107410 0.35570990 29.855347 20.380676
    Oben rechts KachelX + 1 38204 KachelY 28977 0.52116997 0.35570990 29.860840 20.380676
    Unten links KachelX 38203 KachelY + 1 28978 0.52107410 0.35562003 29.855347 20.375527
    Unten rechts KachelX + 1 38204 KachelY + 1 28978 0.52116997 0.35562003 29.860840 20.375527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35570990-0.35562003) × R
    8.98700000000474e-05 × 6371000     		dl = 572.561770000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35570990-0.35562003) × R
    8.98700000000474e-05 × 6371000     		dr = 572.561770000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52107410-0.52116997) × cos(0.35570990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937399498172575 × 6371000     		do = 572.552149087933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52107410-0.52116997) × cos(0.35562003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937430792145911 × 6371000     		du = 572.571263064122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35570990)-sin(0.35562003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937399498172575-0.937430792145911)×R²
    abs(0.52116997-0.52107410)×3.12939733362327e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12939733362327e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12939733362327e-05×40589641000000     		ar = 327826.944085909m²