Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38202 / 29932
↖ ↑ ↗
← N 15.390136°
E 29.849854°		 ← 588.89 m → N 15.390136°
E 29.855347°		 →
↑
588.94 m
↓
↑
588.94 m
↓
N 15.384839°
E 29.849854°		 ← 588.90 m →
346 820 m²		 N 15.384839°
E 29.855347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582923889160156 y=0.456733703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582923889160156 × 216)
    floor (0.582923889160156 × 65536)
    floor (38202.5)     		tx = 38202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456733703613281 × 216)
    floor (0.456733703613281 × 65536)
    floor (29932.5)     		ty = 29932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38202 / 29932 ti = "16/38202/29932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38202/29932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38202 ÷ 216
    38202 ÷ 65536     		x = 0.582916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29932 ÷ 216
    29932 ÷ 65536     		y = 0.45672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582916259765625 × 2 - 1) × π
    0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45672607421875 × 2 - 1) × π
    0.0865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.271898094644959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52097823} λ = 0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271898094644959))-π/2
    2×atan(1.3124532484819)-π/2
    2×0.919702433674126-π/2
    1.83940486734825-1.57079632675     		φ = 0.26860854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26860854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.390136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38202 KachelY 29932 0.52097823 0.26860854 29.849854 15.390136
    Oben rechts KachelX + 1 38203 KachelY 29932 0.52107410 0.26860854 29.855347 15.390136
    Unten links KachelX 38202 KachelY + 1 29933 0.52097823 0.26851610 29.849854 15.384839
    Unten rechts KachelX + 1 38203 KachelY + 1 29933 0.52107410 0.26851610 29.855347 15.384839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26860854-0.26851610) × R
    9.24400000000269e-05 × 6371000     		dl = 588.935240000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26860854-0.26851610) × R
    9.24400000000269e-05 × 6371000     		dr = 588.935240000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52097823-0.52107410) × cos(0.26860854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964141109363391 × 6371000     		do = 588.885598153379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52097823-0.52107410) × cos(0.26851610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96416563790763 × 6371000     		du = 588.900579888216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26860854)-sin(0.26851610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964141109363391-0.96416563790763)×R²
    abs(0.52107410-0.52097823)×2.45285442387333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.45285442387333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.45285442387333e-05×40589641000000     		ar = 346819.892963846m²