Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38202 / 29654
↖ ↑ ↗
← N 16.857120°
E 29.849854°		 ← 584.54 m → N 16.857120°
E 29.855347°		 →
↑
584.60 m
↓
↑
584.60 m
↓
N 16.851862°
E 29.849854°		 ← 584.56 m →
341 730 m²		 N 16.851862°
E 29.855347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582923889160156 y=0.452491760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582923889160156 × 216)
    floor (0.582923889160156 × 65536)
    floor (38202.5)     		tx = 38202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452491760253906 × 216)
    floor (0.452491760253906 × 65536)
    floor (29654.5)     		ty = 29654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38202 / 29654 ti = "16/38202/29654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38202/29654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38202 ÷ 216
    38202 ÷ 65536     		x = 0.582916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29654 ÷ 216
    29654 ÷ 65536     		y = 0.452484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582916259765625 × 2 - 1) × π
    0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452484130859375 × 2 - 1) × π
    0.09503173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.29855101083371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52097823} λ = 0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29855101083371))-π/2
    2×atan(1.34790429316488)-π/2
    2×0.932504283575124-π/2
    1.86500856715025-1.57079632675     		φ = 0.29421224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29421224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.857120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38202 KachelY 29654 0.52097823 0.29421224 29.849854 16.857120
    Oben rechts KachelX + 1 38203 KachelY 29654 0.52107410 0.29421224 29.855347 16.857120
    Unten links KachelX 38202 KachelY + 1 29655 0.52097823 0.29412048 29.849854 16.851862
    Unten rechts KachelX + 1 38203 KachelY + 1 29655 0.52107410 0.29412048 29.855347 16.851862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29421224-0.29412048) × R
    9.17599999999963e-05 × 6371000     		dl = 584.602959999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29421224-0.29412048) × R
    9.17599999999963e-05 × 6371000     		dr = 584.602959999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52097823-0.52107410) × cos(0.29421224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957030878642322 × 6371000     		do = 584.542756187072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52097823-0.52107410) × cos(0.29412048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957057483731304 × 6371000     		du = 584.559006250042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29421224)-sin(0.29412048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957030878642322-0.957057483731304)×R²
    abs(0.52107410-0.52097823)×2.66050889817793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66050889817793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66050889817793e-05×40589641000000     		ar = 341730.175670899m²