Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38201 / 29689
↖ ↑ ↗
← N 16.673031°
E 29.844360°		 ← 585.17 m → N 16.673031°
E 29.849854°		 →
↑
585.18 m
↓
↑
585.18 m
↓
N 16.667769°
E 29.844360°		 ← 585.19 m →
342 432 m²		 N 16.667769°
E 29.849854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582908630371094 y=0.453025817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582908630371094 × 216)
    floor (0.582908630371094 × 65536)
    floor (38201.5)     		tx = 38201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453025817871094 × 216)
    floor (0.453025817871094 × 65536)
    floor (29689.5)     		ty = 29689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38201 / 29689 ti = "16/38201/29689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38201/29689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38201 ÷ 216
    38201 ÷ 65536     		x = 0.582901000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29689 ÷ 216
    29689 ÷ 65536     		y = 0.453018188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582901000976562 × 2 - 1) × π
    0.165802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52088235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453018188476562 × 2 - 1) × π
    0.093963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.295195427860306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52088235} λ = 0.52088235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295195427860306))-π/2
    2×atan(1.34338886864672)-π/2
    2×0.930897806594281-π/2
    1.86179561318856-1.57079632675     		φ = 0.29099929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52088235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.844360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29099929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.673031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38201 KachelY 29689 0.52088235 0.29099929 29.844360 16.673031
    Oben rechts KachelX + 1 38202 KachelY 29689 0.52097823 0.29099929 29.849854 16.673031
    Unten links KachelX 38201 KachelY + 1 29690 0.52088235 0.29090744 29.844360 16.667769
    Unten rechts KachelX + 1 38202 KachelY + 1 29690 0.52097823 0.29090744 29.849854 16.667769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29099929-0.29090744) × R
    9.18500000000044e-05 × 6371000     		dl = 585.176350000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29099929-0.29090744) × R
    9.18500000000044e-05 × 6371000     		dr = 585.176350000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52088235-0.52097823) × cos(0.29099929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.957957647919443 × 6371000     		do = 585.169847008527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52088235-0.52097823) × cos(0.29090744) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.957983996529495 × 6371000     		du = 585.185942095973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29099929)-sin(0.29090744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957957647919443-0.957983996529495)×R²
    abs(0.52097823-0.52088235)×2.63486100523513e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.63486100523513e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.63486100523513e-05×40589641000000     		ar = 342432.264675453m²