Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38201 / 29288
↖ ↑ ↗
← N 18.771115°
E 29.844360°		 ← 578.36 m → N 18.771115°
E 29.849854°		 →
↑
578.30 m
↓
↑
578.30 m
↓
N 18.765914°
E 29.844360°		 ← 578.38 m →
334 469 m²		 N 18.765914°
E 29.849854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582908630371094 y=0.446907043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582908630371094 × 216)
    floor (0.582908630371094 × 65536)
    floor (38201.5)     		tx = 38201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446907043457031 × 216)
    floor (0.446907043457031 × 65536)
    floor (29288.5)     		ty = 29288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38201 / 29288 ti = "16/38201/29288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38201/29288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38201 ÷ 216
    38201 ÷ 65536     		x = 0.582901000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29288 ÷ 216
    29288 ÷ 65536     		y = 0.4468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582901000976562 × 2 - 1) × π
    0.165802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52088235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    0.106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.333640821355591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52088235} λ = 0.52088235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333640821355591))-π/2
    2×atan(1.39604162517408)-π/2
    2×0.949207044447175-π/2
    1.89841408889435-1.57079632675     		φ = 0.32761776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52088235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.844360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32761776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.771115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38201 KachelY 29288 0.52088235 0.32761776 29.844360 18.771115
    Oben rechts KachelX + 1 38202 KachelY 29288 0.52097823 0.32761776 29.849854 18.771115
    Unten links KachelX 38201 KachelY + 1 29289 0.52088235 0.32752699 29.844360 18.765914
    Unten rechts KachelX + 1 38202 KachelY + 1 29289 0.52097823 0.32752699 29.849854 18.765914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32761776-0.32752699) × R
    9.07699999999623e-05 × 6371000     		dl = 578.29566999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32761776-0.32752699) × R
    9.07699999999623e-05 × 6371000     		dr = 578.29566999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52088235-0.52097823) × cos(0.32761776) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.946811606636437 × 6371000     		do = 578.361271194666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52088235-0.52097823) × cos(0.32752699) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.946840811469994 × 6371000     		du = 578.379111010467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32761776)-sin(0.32752699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946811606636437-0.946840811469994)×R²
    abs(0.52097823-0.52088235)×2.92048335566175e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.92048335566175e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.92048335566175e-05×40589641000000     		ar = 334468.977401242m²