Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38201 / 29229
↖ ↑ ↗
← N 19.077693°
E 29.844360°		 ← 577.30 m → N 19.077693°
E 29.849854°		 →
↑
577.28 m
↓
↑
577.28 m
↓
N 19.072502°
E 29.844360°		 ← 577.32 m →
333 268 m²		 N 19.072502°
E 29.849854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582908630371094 y=0.446006774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582908630371094 × 216)
    floor (0.582908630371094 × 65536)
    floor (38201.5)     		tx = 38201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446006774902344 × 216)
    floor (0.446006774902344 × 65536)
    floor (29229.5)     		ty = 29229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38201 / 29229 ti = "16/38201/29229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38201/29229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38201 ÷ 216
    38201 ÷ 65536     		x = 0.582901000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29229 ÷ 216
    29229 ÷ 65536     		y = 0.445999145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582901000976562 × 2 - 1) × π
    0.165802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52088235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445999145507812 × 2 - 1) × π
    0.108001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.339297375510757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52088235} λ = 0.52088235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339297375510757))-π/2
    2×atan(1.40396078669724)-π/2
    2×0.951882441589241-π/2
    1.90376488317848-1.57079632675     		φ = 0.33296856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52088235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.844360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33296856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.077693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38201 KachelY 29229 0.52088235 0.33296856 29.844360 19.077693
    Oben rechts KachelX + 1 38202 KachelY 29229 0.52097823 0.33296856 29.849854 19.077693
    Unten links KachelX 38201 KachelY + 1 29230 0.52088235 0.33287795 29.844360 19.072502
    Unten rechts KachelX + 1 38202 KachelY + 1 29230 0.52097823 0.33287795 29.849854 19.072502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33296856-0.33287795) × R
    9.06100000000465e-05 × 6371000     		dl = 577.276310000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33296856-0.33287795) × R
    9.06100000000465e-05 × 6371000     		dr = 577.276310000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52088235-0.52097823) × cos(0.33296856) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.945076235344501 × 6371000     		do = 577.301217072638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52088235-0.52097823) × cos(0.33287795) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.945105847341524 × 6371000     		du = 577.319305604845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33296856)-sin(0.33287795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945076235344501-0.945105847341524)×R²
    abs(0.52097823-0.52088235)×2.96119970225606e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.96119970225606e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.96119970225606e-05×40589641000000     		ar = 333267.537618929m²