Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38200 / 29240
↖ ↑ ↗
← N 19.020577°
E 29.838867°		 ← 577.44 m → N 19.020577°
E 29.844360°		 →
↑
577.47 m
↓
↑
577.47 m
↓
N 19.015384°
E 29.838867°		 ← 577.46 m →
333 458 m²		 N 19.015384°
E 29.844360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582893371582031 y=0.446174621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582893371582031 × 216)
    floor (0.582893371582031 × 65536)
    floor (38200.5)     		tx = 38200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446174621582031 × 216)
    floor (0.446174621582031 × 65536)
    floor (29240.5)     		ty = 29240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38200 / 29240 ti = "16/38200/29240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38200/29240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38200 ÷ 216
    38200 ÷ 65536     		x = 0.5828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29240 ÷ 216
    29240 ÷ 65536     		y = 0.4461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    0.107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.338242763719116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52078648} λ = 0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338242763719116))-π/2
    2×atan(1.40248093356903)-π/2
    2×0.951384011500799-π/2
    1.9027680230016-1.57079632675     		φ = 0.33197170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33197170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.020577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38200 KachelY 29240 0.52078648 0.33197170 29.838867 19.020577
    Oben rechts KachelX + 1 38201 KachelY 29240 0.52088235 0.33197170 29.844360 19.020577
    Unten links KachelX 38200 KachelY + 1 29241 0.52078648 0.33188106 29.838867 19.015384
    Unten rechts KachelX + 1 38201 KachelY + 1 29241 0.52088235 0.33188106 29.844360 19.015384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33197170-0.33188106) × R
    9.06399999999752e-05 × 6371000     		dl = 577.467439999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33197170-0.33188106) × R
    9.06399999999752e-05 × 6371000     		dr = 577.467439999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52078648-0.52088235) × cos(0.33197170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945401589386343 × 6371000     		do = 577.439728535727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52078648-0.52088235) × cos(0.33188106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945431125777521 × 6371000     		du = 577.457769002229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33197170)-sin(0.33188106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945401589386343-0.945431125777521)×R²
    abs(0.52088235-0.52078648)×2.95363911780866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95363911780866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95363911780866e-05×40589641000000     		ar = 333457.850911068m²