Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3820 / 2022
↖ ↑ ↗
← N 66.964476°
W 12.128906°		 ← 1 912.09 m → N 66.964476°
W 12.084961°		 →
↑
1 912.77 m
↓
↑
1 912.77 m
↓
N 66.947274°
W 12.128906°		 ← 1 913.44 m →
3 658 677 m²		 N 66.947274°
W 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46636962890625 y=0.24688720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46636962890625 × 213)
    floor (0.46636962890625 × 8192)
    floor (3820.5)     		tx = 3820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24688720703125 × 213)
    floor (0.24688720703125 × 8192)
    floor (2022.5)     		ty = 2022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3820 / 2022 ti = "13/3820/2022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3820/2022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3820 ÷ 213
    3820 ÷ 8192     		x = 0.46630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2022 ÷ 213
    2022 ÷ 8192     		y = 0.246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46630859375 × 2 - 1) × π
    -0.0673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21168935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246826171875 × 2 - 1) × π
    0.50634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59073807699194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21168935} λ = -0.21168935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59073807699194))-π/2
    2×atan(4.90736960859092)-π/2
    2×1.3697734600434-π/2
    2.7395469200868-1.57079632675     		φ = 1.16875059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21168935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16875059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.964476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3820 KachelY 2022 -0.21168935 1.16875059 -12.128906 66.964476
    Oben rechts KachelX + 1 3821 KachelY 2022 -0.21092236 1.16875059 -12.084961 66.964476
    Unten links KachelX 3820 KachelY + 1 2023 -0.21168935 1.16845036 -12.128906 66.947274
    Unten rechts KachelX + 1 3821 KachelY + 1 2023 -0.21092236 1.16845036 -12.084961 66.947274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16875059-1.16845036) × R
    0.000300229999999901 × 6371000     		dl = 1912.76532999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16875059-1.16845036) × R
    0.000300229999999901 × 6371000     		dr = 1912.76532999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21168935--0.21092236) × cos(1.16875059) × R
    0.000766989999999995 × 0.391301774494954 × 6371000     		do = 1912.09349543467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21168935--0.21092236) × cos(1.16845036) × R
    0.000766989999999995 × 0.391578047241506 × 6371000     		du = 1913.44350035691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16875059)-sin(1.16845036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391301774494954-0.391578047241506)×R²
    abs(-0.21092236--0.21168935)×0.00027627274655273×R²
    0.000766989999999995×0.00027627274655273×6371000²
    0.000766989999999995×0.00027627274655273×40589641000000     		ar = 3658677.2945713m²