Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38199 / 29690
↖ ↑ ↗
← N 16.667769°
E 29.833374°		 ← 585.19 m → N 16.667769°
E 29.838867°		 →
↑
585.11 m
↓
↑
585.11 m
↓
N 16.662506°
E 29.833374°		 ← 585.20 m →
342 404 m²		 N 16.662506°
E 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582878112792969 y=0.453041076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582878112792969 × 216)
    floor (0.582878112792969 × 65536)
    floor (38199.5)     		tx = 38199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453041076660156 × 216)
    floor (0.453041076660156 × 65536)
    floor (29690.5)     		ty = 29690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38199 / 29690 ti = "16/38199/29690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38199/29690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38199 ÷ 216
    38199 ÷ 65536     		x = 0.582870483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29690 ÷ 216
    29690 ÷ 65536     		y = 0.453033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582870483398438 × 2 - 1) × π
    0.165740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52069060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453033447265625 × 2 - 1) × π
    0.09393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.295099554061066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52069060} λ = 0.52069060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295099554061066))-π/2
    2×atan(1.3432600790259)-π/2
    2×0.930851884443097-π/2
    1.86170376888619-1.57079632675     		φ = 0.29090744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52069060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.833374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29090744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.667769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38199 KachelY 29690 0.52069060 0.29090744 29.833374 16.667769
    Oben rechts KachelX + 1 38200 KachelY 29690 0.52078648 0.29090744 29.838867 16.667769
    Unten links KachelX 38199 KachelY + 1 29691 0.52069060 0.29081560 29.833374 16.662506
    Unten rechts KachelX + 1 38200 KachelY + 1 29691 0.52078648 0.29081560 29.838867 16.662506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29090744-0.29081560) × R
    9.18400000000097e-05 × 6371000     		dl = 585.112640000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29090744-0.29081560) × R
    9.18400000000097e-05 × 6371000     		dr = 585.112640000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52069060-0.52078648) × cos(0.29090744) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.957983996529495 × 6371000     		do = 585.185942096651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52069060-0.52078648) × cos(0.29081560) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.958010334190253 × 6371000     		du = 585.202030495705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29090744)-sin(0.29081560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957983996529495-0.958010334190253)×R²
    abs(0.52078648-0.52069060)×2.63376607578802e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.63376607578802e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.63376607578802e-05×40589641000000     		ar = 342404.398474657m²