Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38199 / 29241
↖ ↑ ↗
← N 19.015384°
E 29.833374°		 ← 577.52 m → N 19.015384°
E 29.838867°		 →
↑
577.53 m
↓
↑
577.53 m
↓
N 19.010190°
E 29.833374°		 ← 577.54 m →
333 540 m²		 N 19.010190°
E 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582878112792969 y=0.446189880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582878112792969 × 216)
    floor (0.582878112792969 × 65536)
    floor (38199.5)     		tx = 38199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446189880371094 × 216)
    floor (0.446189880371094 × 65536)
    floor (29241.5)     		ty = 29241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38199 / 29241 ti = "16/38199/29241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38199/29241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38199 ÷ 216
    38199 ÷ 65536     		x = 0.582870483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29241 ÷ 216
    29241 ÷ 65536     		y = 0.446182250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582870483398438 × 2 - 1) × π
    0.165740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52069060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446182250976562 × 2 - 1) × π
    0.107635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.338146889919876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52069060} λ = 0.52069060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338146889919876))-π/2
    2×atan(1.40234647883901)-π/2
    2×0.951338691171675-π/2
    1.90267738234335-1.57079632675     		φ = 0.33188106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52069060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.833374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33188106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.015384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38199 KachelY 29241 0.52069060 0.33188106 29.833374 19.015384
    Oben rechts KachelX + 1 38200 KachelY 29241 0.52078648 0.33188106 29.838867 19.015384
    Unten links KachelX 38199 KachelY + 1 29242 0.52069060 0.33179041 29.833374 19.010190
    Unten rechts KachelX + 1 38200 KachelY + 1 29242 0.52078648 0.33179041 29.838867 19.010190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33188106-0.33179041) × R
    9.06500000000254e-05 × 6371000     		dl = 577.531150000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33188106-0.33179041) × R
    9.06500000000254e-05 × 6371000     		dr = 577.531150000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52069060-0.52078648) × cos(0.33188106) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.945431125777521 × 6371000     		do = 577.518002419555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52069060-0.52078648) × cos(0.33179041) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.945460657658769 × 6371000     		du = 577.536042012923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33188106)-sin(0.33179041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945431125777521-0.945460657658769)×R²
    abs(0.52078648-0.52069060)×2.95318812483236e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.95318812483236e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.95318812483236e-05×40589641000000     		ar = 333539.845525108m²