Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38198 / 29924
↖ ↑ ↗
← N 15.432501°
E 29.827881°		 ← 588.77 m → N 15.432501°
E 29.833374°		 →
↑
588.81 m
↓
↑
588.81 m
↓
N 15.427205°
E 29.827881°		 ← 588.78 m →
346 674 m²		 N 15.427205°
E 29.833374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582862854003906 y=0.456611633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582862854003906 × 216)
    floor (0.582862854003906 × 65536)
    floor (38198.5)     		tx = 38198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456611633300781 × 216)
    floor (0.456611633300781 × 65536)
    floor (29924.5)     		ty = 29924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38198 / 29924 ti = "16/38198/29924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38198/29924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38198 ÷ 216
    38198 ÷ 65536     		x = 0.582855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29924 ÷ 216
    29924 ÷ 65536     		y = 0.45660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582855224609375 × 2 - 1) × π
    0.16571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52059473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45660400390625 × 2 - 1) × π
    0.0867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.272665085038879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52059473} λ = 0.52059473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272665085038879))-π/2
    2×atan(1.3134602736559)-π/2
    2×0.920072139496612-π/2
    1.84014427899322-1.57079632675     		φ = 0.26934795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52059473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.827881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26934795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.432501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38198 KachelY 29924 0.52059473 0.26934795 29.827881 15.432501
    Oben rechts KachelX + 1 38199 KachelY 29924 0.52069060 0.26934795 29.833374 15.432501
    Unten links KachelX 38198 KachelY + 1 29925 0.52059473 0.26925553 29.827881 15.427205
    Unten rechts KachelX + 1 38199 KachelY + 1 29925 0.52069060 0.26925553 29.833374 15.427205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26934795-0.26925553) × R
    9.2419999999982e-05 × 6371000     		dl = 588.807819999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26934795-0.26925553) × R
    9.2419999999982e-05 × 6371000     		dr = 588.807819999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52059473-0.52069060) × cos(0.26934795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.963944613704015 × 6371000     		do = 588.765581007774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52059473-0.52069060) × cos(0.26925553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96396920282217 × 6371000     		du = 588.780599740418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26934795)-sin(0.26925553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963944613704015-0.96396920282217)×R²
    abs(0.52069060-0.52059473)×2.45891181558378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.45891181558378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.45891181558378e-05×40589641000000     		ar = 346674.200064522m²