Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38198 / 28998
↖ ↑ ↗
← N 20.272503°
E 29.827881°		 ← 572.95 m → N 20.272503°
E 29.833374°		 →
↑
573.01 m
↓
↑
573.01 m
↓
N 20.267350°
E 29.827881°		 ← 572.97 m →
328 312 m²		 N 20.267350°
E 29.833374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582862854003906 y=0.442481994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582862854003906 × 216)
    floor (0.582862854003906 × 65536)
    floor (38198.5)     		tx = 38198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442481994628906 × 216)
    floor (0.442481994628906 × 65536)
    floor (28998.5)     		ty = 28998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38198 / 28998 ti = "16/38198/28998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38198/28998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38198 ÷ 216
    38198 ÷ 65536     		x = 0.582855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28998 ÷ 216
    28998 ÷ 65536     		y = 0.442474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582855224609375 × 2 - 1) × π
    0.16571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52059473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442474365234375 × 2 - 1) × π
    0.11505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.361444223135223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52059473} λ = 0.52059473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361444223135223))-π/2
    2×atan(1.43540095758636)-π/2
    2×0.962309128060656-π/2
    1.92461825612131-1.57079632675     		φ = 0.35382193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52059473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.827881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35382193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.272503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38198 KachelY 28998 0.52059473 0.35382193 29.827881 20.272503
    Oben rechts KachelX + 1 38199 KachelY 28998 0.52069060 0.35382193 29.833374 20.272503
    Unten links KachelX 38198 KachelY + 1 28999 0.52059473 0.35373199 29.827881 20.267350
    Unten rechts KachelX + 1 38199 KachelY + 1 28999 0.52069060 0.35373199 29.833374 20.267350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35382193-0.35373199) × R
    8.99400000000106e-05 × 6371000     		dl = 573.007740000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35382193-0.35373199) × R
    8.99400000000106e-05 × 6371000     		dr = 573.007740000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52059473-0.52069060) × cos(0.35382193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938055323850445 × 6371000     		do = 572.952719391228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52059473-0.52069060) × cos(0.35373199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93808648296321 × 6371000     		du = 572.97175099623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35382193)-sin(0.35373199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938055323850445-0.93808648296321)×R²
    abs(0.52069060-0.52059473)×3.11591127651889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11591127651889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11591127651889e-05×40589641000000     		ar = 328311.795715166m²