Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38196 / 29926
↖ ↑ ↗
← N 15.421910°
E 29.816894°		 ← 588.86 m → N 15.421910°
E 29.822388°		 →
↑
588.81 m
↓
↑
588.81 m
↓
N 15.416615°
E 29.816894°		 ← 588.87 m →
346 728 m²		 N 15.416615°
E 29.822388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582832336425781 y=0.456642150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582832336425781 × 216)
    floor (0.582832336425781 × 65536)
    floor (38196.5)     		tx = 38196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456642150878906 × 216)
    floor (0.456642150878906 × 65536)
    floor (29926.5)     		ty = 29926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38196 / 29926 ti = "16/38196/29926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38196/29926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38196 ÷ 216
    38196 ÷ 65536     		x = 0.58282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29926 ÷ 216
    29926 ÷ 65536     		y = 0.456634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58282470703125 × 2 - 1) × π
    0.1656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52040298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456634521484375 × 2 - 1) × π
    0.08673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.272473337440399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52040298} λ = 0.52040298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272473337440399))-π/2
    2×atan(1.31320844494728)-π/2
    2×0.91997972010701-π/2
    1.83995944021402-1.57079632675     		φ = 0.26916311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52040298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.816894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26916311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.421910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38196 KachelY 29926 0.52040298 0.26916311 29.816894 15.421910
    Oben rechts KachelX + 1 38197 KachelY 29926 0.52049886 0.26916311 29.822388 15.421910
    Unten links KachelX 38196 KachelY + 1 29927 0.52040298 0.26907069 29.816894 15.416615
    Unten rechts KachelX + 1 38197 KachelY + 1 29927 0.52049886 0.26907069 29.822388 15.416615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26916311-0.26907069) × R
    9.2419999999982e-05 × 6371000     		dl = 588.807819999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26916311-0.26907069) × R
    9.2419999999982e-05 × 6371000     		dr = 588.807819999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52040298-0.52049886) × cos(0.26916311) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.963993783706625 × 6371000     		do = 588.857029488288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52040298-0.52049886) × cos(0.26907069) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.96401835635717 × 6371000     		du = 588.87203972824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26916311)-sin(0.26907069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963993783706625-0.96401835635717)×R²
    abs(0.52049886-0.52040298)×2.45726505441191e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.45726505441191e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.45726505441191e-05×40589641000000     		ar = 346728.04314468m²