Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38196 / 28996
↖ ↑ ↗
← N 20.282809°
E 29.816894°		 ← 572.97 m → N 20.282809°
E 29.822388°		 →
↑
572.94 m
↓
↑
572.94 m
↓
N 20.277656°
E 29.816894°		 ← 572.99 m →
328 288 m²		 N 20.277656°
E 29.822388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582832336425781 y=0.442451477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582832336425781 × 216)
    floor (0.582832336425781 × 65536)
    floor (38196.5)     		tx = 38196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442451477050781 × 216)
    floor (0.442451477050781 × 65536)
    floor (28996.5)     		ty = 28996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38196 / 28996 ti = "16/38196/28996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38196/28996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38196 ÷ 216
    38196 ÷ 65536     		x = 0.58282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28996 ÷ 216
    28996 ÷ 65536     		y = 0.44244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58282470703125 × 2 - 1) × π
    0.1656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52040298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    0.1151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.361635970733704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52040298} λ = 0.52040298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361635970733704))-π/2
    2×atan(1.43567621866232)-π/2
    2×0.962399060000516-π/2
    1.92479812000103-1.57079632675     		φ = 0.35400179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52040298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.816894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35400179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.282809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38196 KachelY 28996 0.52040298 0.35400179 29.816894 20.282809
    Oben rechts KachelX + 1 38197 KachelY 28996 0.52049886 0.35400179 29.822388 20.282809
    Unten links KachelX 38196 KachelY + 1 28997 0.52040298 0.35391186 29.816894 20.277656
    Unten rechts KachelX + 1 38197 KachelY + 1 28997 0.52049886 0.35391186 29.822388 20.277656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35400179-0.35391186) × R
    8.99299999999603e-05 × 6371000     		dl = 572.944029999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35400179-0.35391186) × R
    8.99299999999603e-05 × 6371000     		dr = 572.944029999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52040298-0.52049886) × cos(0.35400179) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.93799298979389 × 6371000     		do = 572.97440604551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52040298-0.52049886) × cos(0.35391186) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.938024160615258 × 6371000     		du = 572.993446787876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35400179)-sin(0.35391186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93799298979389-0.938024160615258)×R²
    abs(0.52049886-0.52040298)×3.1170821368165e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.1170821368165e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.1170821368165e-05×40589641000000     		ar = 328287.72014748m²