Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38194 / 29614
↖ ↑ ↗
← N 17.067287°
E 29.805908°		 ← 583.95 m → N 17.067287°
E 29.811401°		 →
↑
583.90 m
↓
↑
583.90 m
↓
N 17.062036°
E 29.805908°		 ← 583.97 m →
340 974 m²		 N 17.062036°
E 29.811401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582801818847656 y=0.451881408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582801818847656 × 216)
    floor (0.582801818847656 × 65536)
    floor (38194.5)     		tx = 38194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451881408691406 × 216)
    floor (0.451881408691406 × 65536)
    floor (29614.5)     		ty = 29614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38194 / 29614 ti = "16/38194/29614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38194/29614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38194 ÷ 216
    38194 ÷ 65536     		x = 0.582794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29614 ÷ 216
    29614 ÷ 65536     		y = 0.451873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582794189453125 × 2 - 1) × π
    0.16558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52021123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451873779296875 × 2 - 1) × π
    0.09625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302385962803314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52021123} λ = 0.52021123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302385962803314))-π/2
    2×atan(1.35308336578885)-π/2
    2×0.934338343183269-π/2
    1.86867668636654-1.57079632675     		φ = 0.29788036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52021123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.805908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29788036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.067287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38194 KachelY 29614 0.52021123 0.29788036 29.805908 17.067287
    Oben rechts KachelX + 1 38195 KachelY 29614 0.52030711 0.29788036 29.811401 17.067287
    Unten links KachelX 38194 KachelY + 1 29615 0.52021123 0.29778871 29.805908 17.062036
    Unten rechts KachelX + 1 38195 KachelY + 1 29615 0.52030711 0.29778871 29.811401 17.062036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29788036-0.29778871) × R
    9.16499999999987e-05 × 6371000     		dl = 583.902149999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29788036-0.29778871) × R
    9.16499999999987e-05 × 6371000     		dr = 583.902149999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52021123-0.52030711) × cos(0.29788036) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.955960739005096 × 6371000     		do = 583.950032242774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52021123-0.52030711) × cos(0.29778871) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.955987633767944 × 6371000     		du = 583.966460948463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29788036)-sin(0.29778871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955960739005096-0.955987633767944)×R²
    abs(0.52030711-0.52021123)×2.68947628471183e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68947628471183e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68947628471183e-05×40589641000000     		ar = 340974.47593607m²