Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38191 / 28970
↖ ↑ ↗
← N 20.416717°
E 29.789429°		 ← 572.48 m → N 20.416717°
E 29.794922°		 →
↑
572.43 m
↓
↑
572.43 m
↓
N 20.411569°
E 29.789429°		 ← 572.50 m →
327 712 m²		 N 20.411569°
E 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582756042480469 y=0.442054748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582756042480469 × 216)
    floor (0.582756042480469 × 65536)
    floor (38191.5)     		tx = 38191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442054748535156 × 216)
    floor (0.442054748535156 × 65536)
    floor (28970.5)     		ty = 28970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38191 / 28970 ti = "16/38191/28970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38191/28970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38191 ÷ 216
    38191 ÷ 65536     		x = 0.582748413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28970 ÷ 216
    28970 ÷ 65536     		y = 0.442047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582748413085938 × 2 - 1) × π
    0.165496826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51992361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442047119140625 × 2 - 1) × π
    0.11590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364128689513947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51992361} λ = 0.51992361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364128689513947))-π/2
    2×atan(1.43925941983596)-π/2
    2×0.963567630345054-π/2
    1.92713526069011-1.57079632675     		φ = 0.35633893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51992361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.789429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35633893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.416717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38191 KachelY 28970 0.51992361 0.35633893 29.789429 20.416717
    Oben rechts KachelX + 1 38192 KachelY 28970 0.52001949 0.35633893 29.794922 20.416717
    Unten links KachelX 38191 KachelY + 1 28971 0.51992361 0.35624908 29.789429 20.411569
    Unten rechts KachelX + 1 38192 KachelY + 1 28971 0.52001949 0.35624908 29.794922 20.411569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35633893-0.35624908) × R
    8.98500000000024e-05 × 6371000     		dl = 572.434350000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35633893-0.35624908) × R
    8.98500000000024e-05 × 6371000     		dr = 572.434350000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51992361-0.52001949) × cos(0.35633893) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.937180249315649 × 6371000     		do = 572.477942321521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51992361-0.52001949) × cos(0.35624908) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.937211589300511 × 6371000     		du = 572.497086397657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35633893)-sin(0.35624908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937180249315649-0.937211589300511)×R²
    abs(0.52001949-0.51992361)×3.13399848622664e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.13399848622664e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.13399848622664e-05×40589641000000     		ar = 327711.518386104m²