Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3819 / 2129
↖ ↑ ↗
← N 65.053602°
W 12.172852°		 ← 2 060.98 m → N 65.053602°
W 12.128906°		 →
↑
2 061.72 m
↓
↑
2 061.72 m
↓
N 65.035060°
W 12.172852°		 ← 2 062.41 m →
4 250 635 m²		 N 65.035060°
W 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46624755859375 y=0.25994873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46624755859375 × 213)
    floor (0.46624755859375 × 8192)
    floor (3819.5)     		tx = 3819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25994873046875 × 213)
    floor (0.25994873046875 × 8192)
    floor (2129.5)     		ty = 2129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3819 / 2129 ti = "13/3819/2129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3819/2129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3819 ÷ 213
    3819 ÷ 8192     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2129 ÷ 213
    2129 ÷ 8192     		y = 0.2598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2598876953125 × 2 - 1) × π
    0.480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50867010484241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50867010484241))-π/2
    2×atan(4.52071471821308)-π/2
    2×1.35309793341331-π/2
    2.70619586682662-1.57079632675     		φ = 1.13539954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13539954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.053602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3819 KachelY 2129 -0.21245634 1.13539954 -12.172852 65.053602
    Oben rechts KachelX + 1 3820 KachelY 2129 -0.21168935 1.13539954 -12.128906 65.053602
    Unten links KachelX 3819 KachelY + 1 2130 -0.21245634 1.13507593 -12.172852 65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 3820 KachelY + 1 2130 -0.21168935 1.13507593 -12.128906 65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13539954-1.13507593) × R
    0.000323610000000141 × 6371000     		dl = 2061.7193100009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13539954-1.13507593) × R
    0.000323610000000141 × 6371000     		dr = 2061.7193100009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21168935) × cos(1.13539954) × R
    0.000766989999999995 × 0.421770202241302 × 6371000     		do = 2060.97726317405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21168935) × cos(1.13507593) × R
    0.000766989999999995 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 2062.41094071392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13539954)-sin(1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421770202241302-0.422063598232002)×R²
    abs(-0.21168935--0.21245634)×0.00029339599070044×R²
    0.000766989999999995×0.00029339599070044×6371000²
    0.000766989999999995×0.00029339599070044×40589641000000     		ar = 4250634.57838994m²