Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38187 / 29357
↖ ↑ ↗
← N 18.411867°
E 29.767456°		 ← 579.52 m → N 18.411867°
E 29.772949°		 →
↑
579.57 m
↓
↑
579.57 m
↓
N 18.406655°
E 29.767456°		 ← 579.54 m →
335 879 m²		 N 18.406655°
E 29.772949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582695007324219 y=0.447959899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582695007324219 × 216)
    floor (0.582695007324219 × 65536)
    floor (38187.5)     		tx = 38187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447959899902344 × 216)
    floor (0.447959899902344 × 65536)
    floor (29357.5)     		ty = 29357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38187 / 29357 ti = "16/38187/29357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38187/29357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38187 ÷ 216
    38187 ÷ 65536     		x = 0.582687377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29357 ÷ 216
    29357 ÷ 65536     		y = 0.447952270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582687377929688 × 2 - 1) × π
    0.165374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51954012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    0.104095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.327025529208023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51954012} λ = 0.51954012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327025529208023))-π/2
    2×atan(1.38683688157562)-π/2
    2×0.946072011638668-π/2
    1.89214402327734-1.57079632675     		φ = 0.32134770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51954012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.767456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32134770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.411867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38187 KachelY 29357 0.51954012 0.32134770 29.767456 18.411867
    Oben rechts KachelX + 1 38188 KachelY 29357 0.51963599 0.32134770 29.772949 18.411867
    Unten links KachelX 38187 KachelY + 1 29358 0.51954012 0.32125673 29.767456 18.406655
    Unten rechts KachelX + 1 38188 KachelY + 1 29358 0.51963599 0.32125673 29.772949 18.406655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32134770-0.32125673) × R
    9.09700000000235e-05 × 6371000     		dl = 579.56987000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32134770-0.32125673) × R
    9.09700000000235e-05 × 6371000     		dr = 579.56987000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51954012-0.51963599) × cos(0.32134770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948810614811253 × 6371000     		do = 579.521919572882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51954012-0.51963599) × cos(0.32125673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948839343355767 × 6371000     		du = 579.539466616521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32134770)-sin(0.32125673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948810614811253-0.948839343355767)×R²
    abs(0.51963599-0.51954012)×2.87285445138563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87285445138563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87285445138563e-05×40589641000000     		ar = 335878.528689513m²