Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38183 / 31007
↖ ↑ ↗
← N  9.627830°
E 29.745483°		 ← 602.25 m → N  9.627830°
E 29.750977°		 →
↑
602.19 m
↓
↑
602.19 m
↓
N  9.622414°
E 29.745483°		 ← 602.26 m →
362 669 m²		 N  9.622414°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582633972167969 y=0.473136901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582633972167969 × 216)
    floor (0.582633972167969 × 65536)
    floor (38183.5)     		tx = 38183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473136901855469 × 216)
    floor (0.473136901855469 × 65536)
    floor (31007.5)     		ty = 31007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38183 / 31007 ti = "16/38183/31007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38183/31007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38183 ÷ 216
    38183 ÷ 65536     		x = 0.582626342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31007 ÷ 216
    31007 ÷ 65536     		y = 0.473129272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582626342773438 × 2 - 1) × π
    0.165252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51915662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.473129272460938 × 2 - 1) × π
    0.053741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.168833760461838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51915662} λ = 0.51915662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.168833760461838))-π/2
    2×atan(1.18392330769997)-π/2
    2×0.869416829870581-π/2
    1.73883365974116-1.57079632675     		φ = 0.16803733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51915662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.745483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16803733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.627830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38183 KachelY 31007 0.51915662 0.16803733 29.745483 9.627830
    Oben rechts KachelX + 1 38184 KachelY 31007 0.51925250 0.16803733 29.750977 9.627830
    Unten links KachelX 38183 KachelY + 1 31008 0.51915662 0.16794281 29.745483 9.622414
    Unten rechts KachelX + 1 38184 KachelY + 1 31008 0.51925250 0.16794281 29.750977 9.622414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16803733-0.16794281) × R
    9.45200000000146e-05 × 6371000     		dl = 602.186920000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16803733-0.16794281) × R
    9.45200000000146e-05 × 6371000     		dr = 602.186920000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51915662-0.51925250) × cos(0.16803733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.985914917545538 × 6371000     		do = 602.247586537072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51915662-0.51925250) × cos(0.16794281) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.985930721388994 × 6371000     		du = 602.257240338237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16803733)-sin(0.16794281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985914917545538-0.985930721388994)×R²
    abs(0.51925250-0.51915662)×1.5803843455342e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.5803843455342e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.5803843455342e-05×40589641000000     		ar = 362668.526180563m²