Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3818 / 2569
↖ ↑ ↗
← N 55.553496°
W 12.216797°		 ← 2 763.98 m → N 55.553496°
W 12.172852°		 →
↑
2 764.89 m
↓
↑
2 764.89 m
↓
N 55.528630°
W 12.216797°		 ← 2 765.73 m →
7 644 506 m²		 N 55.528630°
W 12.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46612548828125 y=0.31365966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46612548828125 × 213)
    floor (0.46612548828125 × 8192)
    floor (3818.5)     		tx = 3818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31365966796875 × 213)
    floor (0.31365966796875 × 8192)
    floor (2569.5)     		ty = 2569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3818 / 2569 ti = "13/3818/2569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3818/2569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3818 ÷ 213
    3818 ÷ 8192     		x = 0.466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2569 ÷ 213
    2569 ÷ 8192     		y = 0.3135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.06787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21322333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3135986328125 × 2 - 1) × π
    0.372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17119433151721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21322333} λ = -0.21322333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17119433151721))-π/2
    2×atan(3.22584306476993)-π/2
    2×1.27019386675885-π/2
    2.5403877335177-1.57079632675     		φ = 0.96959141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21322333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.216797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96959141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.553496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3818 KachelY 2569 -0.21322333 0.96959141 -12.216797 55.553496
    Oben rechts KachelX + 1 3819 KachelY 2569 -0.21245634 0.96959141 -12.172852 55.553496
    Unten links KachelX 3818 KachelY + 1 2570 -0.21322333 0.96915743 -12.216797 55.528630
    Unten rechts KachelX + 1 3819 KachelY + 1 2570 -0.21245634 0.96915743 -12.172852 55.528630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96959141-0.96915743) × R
    0.000433980000000056 × 6371000     		dl = 2764.88658000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96959141-0.96915743) × R
    0.000433980000000056 × 6371000     		dr = 2764.88658000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21322333--0.21245634) × cos(0.96959141) × R
    0.000766989999999995 × 0.565636524017402 × 6371000     		do = 2763.97907918994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21322333--0.21245634) × cos(0.96915743) × R
    0.000766989999999995 × 0.565994354373708 × 6371000     		du = 2765.72761482499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96959141)-sin(0.96915743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565636524017402-0.565994354373708)×R²
    abs(-0.21245634--0.21322333)×0.000357830356305766×R²
    0.000766989999999995×0.000357830356305766×6371000²
    0.000766989999999995×0.000357830356305766×40589641000000     		ar = 7644506.03479038m²