Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38179 / 29162
↖ ↑ ↗
← N 19.425154°
E 29.723511°		 ← 576.02 m → N 19.425154°
E 29.729004°		 →
↑
576.07 m
↓
↑
576.07 m
↓
N 19.419973°
E 29.723511°		 ← 576.04 m →
331 831 m²		 N 19.419973°
E 29.729004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582572937011719 y=0.444984436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582572937011719 × 216)
    floor (0.582572937011719 × 65536)
    floor (38179.5)     		tx = 38179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444984436035156 × 216)
    floor (0.444984436035156 × 65536)
    floor (29162.5)     		ty = 29162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38179 / 29162 ti = "16/38179/29162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38179/29162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38179 ÷ 216
    38179 ÷ 65536     		x = 0.582565307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29162 ÷ 216
    29162 ÷ 65536     		y = 0.444976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582565307617188 × 2 - 1) × π
    0.165130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51877313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    0.11004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345720920059845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51877313} λ = 0.51877313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345720920059845))-π/2
    2×atan(1.41300821853698)-π/2
    2×0.954914608443727-π/2
    1.90982921688745-1.57079632675     		φ = 0.33903289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51877313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.723511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33903289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.425154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38179 KachelY 29162 0.51877313 0.33903289 29.723511 19.425154
    Oben rechts KachelX + 1 38180 KachelY 29162 0.51886900 0.33903289 29.729004 19.425154
    Unten links KachelX 38179 KachelY + 1 29163 0.51877313 0.33894247 29.723511 19.419973
    Unten rechts KachelX + 1 38180 KachelY + 1 29163 0.51886900 0.33894247 29.729004 19.419973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33903289-0.33894247) × R
    9.041999999998e-05 × 6371000     		dl = 576.065819999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33903289-0.33894247) × R
    9.041999999998e-05 × 6371000     		dr = 576.065819999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51877313-0.51886900) × cos(0.33903289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94307674329974 × 6371000     		do = 576.019740978898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51877313-0.51886900) × cos(0.33894247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943106810893084 × 6371000     		du = 576.038105897186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33903289)-sin(0.33894247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94307674329974-0.943106810893084)×R²
    abs(0.51886900-0.51877313)×3.00675933436745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00675933436745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00675933436745e-05×40589641000000     		ar = 331830.574349947m²