Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38178 / 29167
↖ ↑ ↗
← N 19.399249°
E 29.718017°		 ← 576.17 m → N 19.399249°
E 29.723511°		 →
↑
576.13 m
↓
↑
576.13 m
↓
N 19.394068°
E 29.718017°		 ← 576.19 m →
331 955 m²		 N 19.394068°
E 29.723511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582557678222656 y=0.445060729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582557678222656 × 216)
    floor (0.582557678222656 × 65536)
    floor (38178.5)     		tx = 38178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445060729980469 × 216)
    floor (0.445060729980469 × 65536)
    floor (29167.5)     		ty = 29167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38178 / 29167 ti = "16/38178/29167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38178/29167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38178 ÷ 216
    38178 ÷ 65536     		x = 0.582550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29167 ÷ 216
    29167 ÷ 65536     		y = 0.445053100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582550048828125 × 2 - 1) × π
    0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    0.109893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.345241551063644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51867725} λ = 0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345241551063644))-π/2
    2×atan(1.41233102853056)-π/2
    2×0.954688549556167-π/2
    1.90937709911233-1.57079632675     		φ = 0.33858077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33858077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.399249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38178 KachelY 29167 0.51867725 0.33858077 29.718017 19.399249
    Oben rechts KachelX + 1 38179 KachelY 29167 0.51877313 0.33858077 29.723511 19.399249
    Unten links KachelX 38178 KachelY + 1 29168 0.51867725 0.33849034 29.718017 19.394068
    Unten rechts KachelX + 1 38179 KachelY + 1 29168 0.51877313 0.33849034 29.723511 19.394068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33858077-0.33849034) × R
    9.04299999999747e-05 × 6371000     		dl = 576.129529999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33858077-0.33849034) × R
    9.04299999999747e-05 × 6371000     		dr = 576.129529999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51867725-0.51877313) × cos(0.33858077) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943227010800673 × 6371000     		do = 576.171615523857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51867725-0.51877313) × cos(0.33849034) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943257043157337 × 6371000     		du = 576.189960833372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33858077)-sin(0.33849034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943227010800673-0.943257043157337)×R²
    abs(0.51877313-0.51867725)×3.00323566636562e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.00323566636562e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.00323566636562e-05×40589641000000     		ar = 331954.766914536m²