Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38177 / 29475
↖ ↑ ↗
← N 17.795766°
E 29.712524°		 ← 581.56 m → N 17.795766°
E 29.718017°		 →
↑
581.61 m
↓
↑
581.61 m
↓
N 17.790535°
E 29.712524°		 ← 581.58 m →
338 247 m²		 N 17.790535°
E 29.718017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582542419433594 y=0.449760437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582542419433594 × 216)
    floor (0.582542419433594 × 65536)
    floor (38177.5)     		tx = 38177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449760437011719 × 216)
    floor (0.449760437011719 × 65536)
    floor (29475.5)     		ty = 29475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38177 / 29475 ti = "16/38177/29475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38177/29475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38177 ÷ 216
    38177 ÷ 65536     		x = 0.582534790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29475 ÷ 216
    29475 ÷ 65536     		y = 0.449752807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582534790039062 × 2 - 1) × π
    0.165069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51858138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449752807617188 × 2 - 1) × π
    0.100494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.31571242089769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51858138} λ = 0.51858138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31571242089769))-π/2
    2×atan(1.3712358601411)-π/2
    2×0.940695516431108-π/2
    1.88139103286222-1.57079632675     		φ = 0.31059471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51858138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.712524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31059471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.795766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38177 KachelY 29475 0.51858138 0.31059471 29.712524 17.795766
    Oben rechts KachelX + 1 38178 KachelY 29475 0.51867725 0.31059471 29.718017 17.795766
    Unten links KachelX 38177 KachelY + 1 29476 0.51858138 0.31050342 29.712524 17.790535
    Unten rechts KachelX + 1 38178 KachelY + 1 29476 0.51867725 0.31050342 29.718017 17.790535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31059471-0.31050342) × R
    9.12900000000216e-05 × 6371000     		dl = 581.608590000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31059471-0.31050342) × R
    9.12900000000216e-05 × 6371000     		dr = 581.608590000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51858138-0.51867725) × cos(0.31059471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952151980064072 × 6371000     		do = 581.562784604406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51858138-0.51867725) × cos(0.31050342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952179876597688 × 6371000     		du = 581.579823465964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31059471)-sin(0.31050342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952151980064072-0.952179876597688)×R²
    abs(0.51867725-0.51858138)×2.78965336159009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78965336159009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78965336159009e-05×40589641000000     		ar = 338246.86635925m²