Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38176 / 29472
↖ ↑ ↗
← N 17.811456°
E 29.707031°		 ← 581.51 m → N 17.811456°
E 29.712524°		 →
↑
581.54 m
↓
↑
581.54 m
↓
N 17.806226°
E 29.707031°		 ← 581.53 m →
338 180 m²		 N 17.806226°
E 29.712524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582527160644531 y=0.449714660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582527160644531 × 216)
    floor (0.582527160644531 × 65536)
    floor (38176.5)     		tx = 38176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449714660644531 × 216)
    floor (0.449714660644531 × 65536)
    floor (29472.5)     		ty = 29472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38176 / 29472 ti = "16/38176/29472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38176/29472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38176 ÷ 216
    38176 ÷ 65536     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29472 ÷ 216
    29472 ÷ 65536     		y = 0.44970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.31600004229541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31600004229541))-π/2
    2×atan(1.37163031363971)-π/2
    2×0.940832440053069-π/2
    1.88166488010614-1.57079632675     		φ = 0.31086855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31086855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.811456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38176 KachelY 29472 0.51848551 0.31086855 29.707031 17.811456
    Oben rechts KachelX + 1 38177 KachelY 29472 0.51858138 0.31086855 29.712524 17.811456
    Unten links KachelX 38176 KachelY + 1 29473 0.51848551 0.31077727 29.707031 17.806226
    Unten rechts KachelX + 1 38177 KachelY + 1 29473 0.51858138 0.31077727 29.712524 17.806226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31086855-0.31077727) × R
    9.12800000000269e-05 × 6371000     		dl = 581.544880000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31086855-0.31077727) × R
    9.12800000000269e-05 × 6371000     		dr = 581.544880000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.51858138) × cos(0.31086855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952068252030094 × 6371000     		do = 581.511644545247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.51858138) × cos(0.31077727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952096169307733 × 6371000     		du = 581.528696077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31086855)-sin(0.31077727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952068252030094-0.952096169307733)×R²
    abs(0.51858138-0.51848551)×2.79172776386227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79172776386227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79172776386227e-05×40589641000000     		ar = 338180.077896025m²