Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38175 / 29303
↖ ↑ ↗
← N 18.693082°
E 29.701538°		 ← 578.63 m → N 18.693082°
E 29.707031°		 →
↑
578.61 m
↓
↑
578.61 m
↓
N 18.687878°
E 29.701538°		 ← 578.65 m →
334 808 m²		 N 18.687878°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582511901855469 y=0.447135925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582511901855469 × 216)
    floor (0.582511901855469 × 65536)
    floor (38175.5)     		tx = 38175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447135925292969 × 216)
    floor (0.447135925292969 × 65536)
    floor (29303.5)     		ty = 29303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38175 / 29303 ti = "16/38175/29303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38175/29303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38175 ÷ 216
    38175 ÷ 65536     		x = 0.582504272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29303 ÷ 216
    29303 ÷ 65536     		y = 0.447128295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582504272460938 × 2 - 1) × π
    0.165008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51838963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447128295898438 × 2 - 1) × π
    0.105743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.332202714366989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51838963} λ = 0.51838963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.332202714366989))-π/2
    2×atan(1.3940354108777)-π/2
    2×0.948526078912154-π/2
    1.89705215782431-1.57079632675     		φ = 0.32625583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51838963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.701538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32625583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.693082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38175 KachelY 29303 0.51838963 0.32625583 29.701538 18.693082
    Oben rechts KachelX + 1 38176 KachelY 29303 0.51848551 0.32625583 29.707031 18.693082
    Unten links KachelX 38175 KachelY + 1 29304 0.51838963 0.32616501 29.701538 18.687878
    Unten rechts KachelX + 1 38176 KachelY + 1 29304 0.51848551 0.32616501 29.707031 18.687878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32625583-0.32616501) × R
    9.0820000000047e-05 × 6371000     		dl = 578.614220000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32625583-0.32616501) × R
    9.0820000000047e-05 × 6371000     		dr = 578.614220000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51838963-0.51848551) × cos(0.32625583) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.947248981693534 × 6371000     		do = 578.628442395609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51838963-0.51848551) × cos(0.32616501) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.947278085471757 × 6371000     		du = 578.64622048161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32625583)-sin(0.32616501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947248981693534-0.947278085471757)×R²
    abs(0.51848551-0.51838963)×2.91037782229608e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.91037782229608e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.91037782229608e-05×40589641000000     		ar = 334807.788423542m²