Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38172 / 29324
↖ ↑ ↗
← N 18.583776°
E 29.685059°		 ← 578.94 m → N 18.583776°
E 29.690551°		 →
↑
578.93 m
↓
↑
578.93 m
↓
N 18.578569°
E 29.685059°		 ← 578.96 m →
335 173 m²		 N 18.578569°
E 29.690551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582466125488281 y=0.447456359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582466125488281 × 216)
    floor (0.582466125488281 × 65536)
    floor (38172.5)     		tx = 38172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447456359863281 × 216)
    floor (0.447456359863281 × 65536)
    floor (29324.5)     		ty = 29324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38172 / 29324 ti = "16/38172/29324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38172/29324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38172 ÷ 216
    38172 ÷ 65536     		x = 0.58245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29324 ÷ 216
    29324 ÷ 65536     		y = 0.44744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58245849609375 × 2 - 1) × π
    0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44744873046875 × 2 - 1) × π
    0.1051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.330189364582947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51810201} λ = 0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330189364582947))-π/2
    2×atan(1.39123155350422)-π/2
    2×0.94757220000005-π/2
    1.8951444000001-1.57079632675     		φ = 0.32434807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32434807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.583776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38172 KachelY 29324 0.51810201 0.32434807 29.685059 18.583776
    Oben rechts KachelX + 1 38173 KachelY 29324 0.51819788 0.32434807 29.690551 18.583776
    Unten links KachelX 38172 KachelY + 1 29325 0.51810201 0.32425720 29.685059 18.578569
    Unten rechts KachelX + 1 38173 KachelY + 1 29325 0.51819788 0.32425720 29.690551 18.578569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32434807-0.32425720) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dl = 578.932769999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32434807-0.32425720) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dr = 578.932769999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51810201-0.51819788) × cos(0.32434807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947858691995032 × 6371000     		do = 578.94049675875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51810201-0.51819788) × cos(0.32425720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947887647525135 × 6371000     		du = 578.958182442411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32434807)-sin(0.32425720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947858691995032-0.947887647525135)×R²
    abs(0.51819788-0.51810201)×2.89555301030697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89555301030697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89555301030697e-05×40589641000000     		ar = 335172.74509518m²