Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38172 / 29292
↖ ↑ ↗
← N 18.750310°
E 29.685059°		 ← 578.37 m → N 18.750310°
E 29.690551°		 →
↑
578.36 m
↓
↑
578.36 m
↓
N 18.745108°
E 29.685059°		 ← 578.39 m →
334 512 m²		 N 18.745108°
E 29.690551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582466125488281 y=0.446968078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582466125488281 × 216)
    floor (0.582466125488281 × 65536)
    floor (38172.5)     		tx = 38172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446968078613281 × 216)
    floor (0.446968078613281 × 65536)
    floor (29292.5)     		ty = 29292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38172 / 29292 ti = "16/38172/29292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38172/29292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38172 ÷ 216
    38172 ÷ 65536     		x = 0.58245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29292 ÷ 216
    29292 ÷ 65536     		y = 0.44696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58245849609375 × 2 - 1) × π
    0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44696044921875 × 2 - 1) × π
    0.1060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.33325732615863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51810201} λ = 0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33325732615863))-π/2
    2×atan(1.39550635255987)-π/2
    2×0.949025484397092-π/2
    1.89805096879418-1.57079632675     		φ = 0.32725464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32725464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.750310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38172 KachelY 29292 0.51810201 0.32725464 29.685059 18.750310
    Oben rechts KachelX + 1 38173 KachelY 29292 0.51819788 0.32725464 29.690551 18.750310
    Unten links KachelX 38172 KachelY + 1 29293 0.51810201 0.32716386 29.685059 18.745108
    Unten rechts KachelX + 1 38173 KachelY + 1 29293 0.51819788 0.32716386 29.690551 18.745108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32725464-0.32716386) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dl = 578.35938000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32725464-0.32716386) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dr = 578.35938000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51810201-0.51819788) × cos(0.32725464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946928392020261 × 6371000     		do = 578.372280911728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51810201-0.51819788) × cos(0.32716386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946957568857706 × 6371000     		du = 578.390101767207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32725464)-sin(0.32716386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946928392020261-0.946957568857706)×R²
    abs(0.51819788-0.51810201)×2.91768374451884e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91768374451884e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91768374451884e-05×40589641000000     		ar = 334512.187456463m²