Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38171 / 29347
↖ ↑ ↗
← N 18.463979°
E 29.679566°		 ← 579.35 m → N 18.463979°
E 29.685059°		 →
↑
579.38 m
↓
↑
579.38 m
↓
N 18.458768°
E 29.679566°		 ← 579.36 m →
335 666 m²		 N 18.458768°
E 29.685059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582450866699219 y=0.447807312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582450866699219 × 216)
    floor (0.582450866699219 × 65536)
    floor (38171.5)     		tx = 38171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447807312011719 × 216)
    floor (0.447807312011719 × 65536)
    floor (29347.5)     		ty = 29347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38171 / 29347 ti = "16/38171/29347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38171/29347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38171 ÷ 216
    38171 ÷ 65536     		x = 0.582443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29347 ÷ 216
    29347 ÷ 65536     		y = 0.447799682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582443237304688 × 2 - 1) × π
    0.164886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51800614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447799682617188 × 2 - 1) × π
    0.104400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.327984267200424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51800614} λ = 0.51800614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327984267200424))-π/2
    2×atan(1.38816713236234)-π/2
    2×0.946526773111145-π/2
    1.89305354622229-1.57079632675     		φ = 0.32225722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51800614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.679566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32225722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.463979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38171 KachelY 29347 0.51800614 0.32225722 29.679566 18.463979
    Oben rechts KachelX + 1 38172 KachelY 29347 0.51810201 0.32225722 29.685059 18.463979
    Unten links KachelX 38171 KachelY + 1 29348 0.51800614 0.32216628 29.679566 18.458768
    Unten rechts KachelX + 1 38172 KachelY + 1 29348 0.51810201 0.32216628 29.685059 18.458768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32225722-0.32216628) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dl = 579.378739999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32225722-0.32216628) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dr = 579.378739999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51800614-0.51810201) × cos(0.32225722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948522954557243 × 6371000     		do = 579.346220207817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51800614-0.51810201) × cos(0.32216628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948551752096063 × 6371000     		du = 579.363809392334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32225722)-sin(0.32216628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948522954557243-0.948551752096063)×R²
    abs(0.51810201-0.51800614)×2.87975388195694e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87975388195694e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87975388195694e-05×40589641000000     		ar = 335665.978718698m²